1. مبرهنة الوحدانية وقيد الوجود القطعي

لتكن $f$ دالة حقيقية متصفة بالاستمرار على مجال $I$. من أجل كل عنصر حقيقي $x_0$ ينتمي إلى المجال $I$، ومن أجل كل قيمة حقيقية معلومة $y_0$، توجد حتماً دالة أصلية وحيدة $F$ للتابع $f$ تستجيب بدقة للقيد الموضعي المحدد تالياً:

$ F(x_0) = y_0 $

2. المنهجية الجبرية لتعيين القيمة العددية للثابت $c$

بموجب ما تم تأصيله صلب المبحث السابق، فإن الصيغة الشمولية لفضاء الدوال الأصلية تُقيد في القالب الجبري: $F(x) + c$. ولأجل عزل تابع مفرد يحقق شرط الوحدانية، يتوجب استغلال الإحداثيات المقررة للشرط الابتدائي $(x_0, y_0)$؛ حيث يتم تعويض القيمة $x_0$ صلب العبارة العامة، وصياغة معادلة بمجهول واحد هو الثابت الحقيقي $c$، لإيجاد قيمته الحصيلة.

3. تطبيق تحليلي نموذجي (المخطط الإجرائي المسترسل)

المسألة: عيّن الدالة الأصلية الوحيدة $F$ للتابع $f$ المعرف على $\mathbb{R}$ وفق الصيغة:

$f(x) = 2x + 1$

والتي تحقق الشرط الموضعي: $F(1) = 0$.

المرحلة 1 (التكامل غير المعين): نحدد الصيغة الشمولية الكلية للدوال الأصلية:

$F(x) = x^2 + x + c \quad (c \in \mathbb{R})$

المرحلة 2 (تطبيق القيد): ندرج المقادير العددية للشرط الحاصل $F(1) = 0$ لاستخراج قيمة الثابت الجبري:

$ (1)^2 + (1) + c = 0 \implies 2 + c = 0 \implies c = -2 $

المرحلة 3 (العزل الصياغي): ندوّن العبارة التحليلية الوحيدة المستجيبة للشرطين بالتزامن:

$F(x) = x^2 + x - 2$

4. المقايسة الهندسية (التعيين الموضعي للمنحنى البياني)

بالرجوع إلى الفضاء اللامتناهي للمنحنيات المتناظرة طوبولوجياً والناشئة عن الانسحابات العمودية المتتالية، يُمثل فرض القيمة المعلومة $F(x_0) = y_0$ قيداً هندسياً صارماً يقضي باختيار منحنى بياني مفرد ووحيد من بين كامل العائلة، بحيث يشترط فيه النفاذ صراحة من النقطة الإحداثية المعلومة $M_0(x_0; y_0)$.

يؤدي هذا التقييد هندسياً إلى تثبيت تموضع المنحنى صلب المستوي ومنع حركته الارتدادية العمودية، مما يحول الصياغة من فضاء تكاملي عام للاحتمالات إلى مسار بياني محدد المسار والقيم.

---