تعامد مستويين والمساقط العمودية

لا محاولة بعد...

يتحدد تعامد مستويين في الفضاء بالاعتماد على تعامد مستقيم من أحدهما مع المستوي الآخر كشرط كافٍ وقاطع.

نص المبرهنة: يتعامد مستويان إذا وفقط إذا كان أحدهما يشمل مستقيماً عمودياً على المستوي الآخر.

$$(D) \subset (P_2) \quad \text{و} \quad (D) \perp (P_1) \implies (P_2) \perp (P_1)$$

المسقط العمودي لنقطة معلومة على مستقيم أو مستوٍ هو أداة هندسية لحساب المسافات والأبعاد الأقصر في الفضاء الإقليدي:

النوع	التعريف الهندسي والإنشاء	الخاصية الحاكمة
المسقط العمودي لنقطة $A$ على مستوٍ $(P)$	هي نقطة تقاطع المستقيم $(D)$ المار بالنقطة $A$ والعمودي على المستوي $(P)$ مع هذا المستوي.	النقطة $H$ هي النقطة من المستوي $(P)$ الأقرب إلى النقطة $A$، وتُمثل المسافة $AH$ البُعد الأدنى.
المسقط العمودي لنقطة $A$ على مستقيم $(D)$	هي نقطة تقاطع المستوي $(Q)$ المار بالنقطة $A$ والعمودي على المستقيم $(D)$ مع هذا المستقيم.	المستقيم $(AH)$ يكون عمودياً تماماً على المستقيم $(D)$ في النقطة $H$.

ليكن $ABCDEFGH$ مكعباً. أثبت أن المستويين $(AEF)$ و $(ABC)$ متعامدان، ثم حدد المسقط العمودي للنقطة $E$ على المستوي $(ABC)$.

المرحلة البرهانية	خطوات الاستدلال الهندسية	التعليل الرياضي
1. إثبات تعامد المستويين	من نتائج المبحث السابق، لدينا المستقيم الجانبي $(AE)$ عمودي على المستوي القاعدي $(ABC)$.	$(AE) \perp (ABC)$
2. تطبيق شرط الاحتواء	المستقيم $(AE)$ هو أحد المستقيمات المكونة والمحتواة كلياً داخل المستوي الجانبي $(AEF)$.	$(AE) \subset (AEF)$
3. استنتاج التعامد الفضائي	بما أن المستوي $(AEF)$ يشمل مستقيماً $(AE)$ عمودياً على المستوي $(ABC)$، فإن المستويين متعامدان.	$(AEF) \perp (ABC)$ بناءً على المبرهنة المرجعية.
4. تعيين المسقط العمودي	المستقيم المار بـ $E$ والعمودي على المستوي $(ABC)$ هو المستقيم $(EA)$، ونقطة تقاطعه مع المستوي هي النقطة $A$.	النقطة $A$ هي المسقط العمودي للنقطة $E$ على المستوي $(ABC)$.

قاعدة هندسية:

إذا كان مستويان متعامدين، فإن كل مستقيم محتوى في أحدهما وعمودي على فصلهما المشترك يكون عمودياً على المستوي الآخر حتماً.