تعامد مستويين والمساقط العمودية
1. مبرهنة تعامد مستويين في الفضاء
يتحدد تعامد مستويين في الفضاء بالاعتماد على تعامد مستقيم من أحدهما مع المستوي الآخر كشرط كافٍ وقاطع.
نص المبرهنة: يتعامد مستويان إذا وفقط إذا كان أحدهما يشمل مستقيماً عمودياً على المستوي الآخر.
$$(D) \subset (P_2) \quad \text{و} \quad (D) \perp (P_1) \implies (P_2) \perp (P_1)$$
2. المسقط العمودي لنقطة في الفضاء
المسقط العمودي لنقطة معلومة على مستقيم أو مستوٍ هو أداة هندسية لحساب المسافات والأبعاد الأقصر في الفضاء الإقليدي:
| النوع | التعريف الهندسي والإنشاء | الخاصية الحاكمة |
|---|---|---|
| المسقط العمودي لنقطة $A$ على مستوٍ $(P)$ | هي نقطة تقاطع المستقيم $(D)$ المار بالنقطة $A$ والعمودي على المستوي $(P)$ مع هذا المستوي. | النقطة $H$ هي النقطة من المستوي $(P)$ الأقرب إلى النقطة $A$، وتُمثل المسافة $AH$ البُعد الأدنى. |
| المسقط العمودي لنقطة $A$ على مستقيم $(D)$ | هي نقطة تقاطع المستوي $(Q)$ المار بالنقطة $A$ والعمودي على المستقيم $(D)$ مع هذا المستقيم. | المستقيم $(AH)$ يكون عمودياً تماماً على المستقيم $(D)$ في النقطة $H$. |
3. مثال تطبيقي (إثبات تعامد مستويين وتعيين مسقط عمودي)
ليكن $ABCDEFGH$ مكعباً. أثبت أن المستويين $(AEF)$ و $(ABC)$ متعامدان، ثم حدد المسقط العمودي للنقطة $E$ على المستوي $(ABC)$.
| المرحلة البرهانية | خطوات الاستدلال الهندسية | التعليل الرياضي |
|---|---|---|
| 1. إثبات تعامد المستويين | من نتائج المبحث السابق، لدينا المستقيم الجانبي $(AE)$ عمودي على المستوي القاعدي $(ABC)$. | $(AE) \perp (ABC)$ |
| 2. تطبيق شرط الاحتواء | المستقيم $(AE)$ هو أحد المستقيمات المكونة والمحتواة كلياً داخل المستوي الجانبي $(AEF)$. | $(AE) \subset (AEF)$ |
| 3. استنتاج التعامد الفضائي | بما أن المستوي $(AEF)$ يشمل مستقيماً $(AE)$ عمودياً على المستوي $(ABC)$، فإن المستويين متعامدان. | $(AEF) \perp (ABC)$ بناءً على المبرهنة المرجعية. |
| 4. تعيين المسقط العمودي | المستقيم المار بـ $E$ والعمودي على المستوي $(ABC)$ هو المستقيم $(EA)$، ونقطة تقاطعه مع المستوي هي النقطة $A$. | النقطة $A$ هي المسقط العمودي للنقطة $E$ على المستوي $(ABC)$. |
قاعدة هندسية:
إذا كان مستويان متعامدين، فإن كل مستقيم محتوى في أحدهما وعمودي على فصلهما المشترك يكون عمودياً على المستوي الآخر حتماً.