تعامد مستقيم ومستوٍ في الفضاء
1. المبرهنة المرجعية لتعامد مستقيم ومستوٍ
يكون مستقيم عمودياً على مستوٍ في الفضاء إذا وفقط إذا كان عمودياً على جميع مستقيمات هذا المستوي. ولتسهيل الإثبات البرهاني، نعتمد المبرهنة المرجعية التالية:
نص المبرهنة: يكون مستقيم $(D)$ عمودياً على مستوٍ $(P)$ إذا وفقط إذا كان عمودياً على مستقيمين متقاطعين من المستوي $(P)$.
$$(D) \perp (D_1) \quad \text{و} \quad (D) \perp (D_2) \quad \text{حيث} \quad (D_1) \cap (D_2) = \{A\} \quad \text{و} \quad (D_1), (D_2) \subset (P) \implies (D) \perp (P)$$
2. الخواص الهندسية الناتجة عن التعامد الفضائي
| نص الخاصية الهندسة | الشرط والربط الفضائي | النتيجة القطعية |
|---|---|---|
| التعامد والتوازي للمستقيمات | إذا كان مستقيمان متوازيين، فإن كل مستوٍ عمودي على أحدهما يكون عمودياً على الآخر حتماً. | $(D_1) \parallel (D_2) \quad \text{و} \quad (D_1) \perp (P) \implies (D_2) \perp (P)$ |
| التعامد والتوازي للمستويات | إذا كان مستويان متوازيين، فإن كل مستقيم عمودي على أحدهما يكون عمودياً على الآخر حتماً. | $(P_1) \parallel (P_2) \quad \text{و} \quad (D) \perp (P_1) \implies (D) \perp (P_2)$ |
3. مثال تطبيقي (إثبات تعامد مستقيم ومستوٍ في حرف مكعب)
ليكن $ABCDEFGH$ مكعباً. أثبت أن المستقيم $(AE)$ عمودي على المستوي القاعدي $(ABC)$.
| المرحلة البرهانية | خطوات الاستدلال الهندسية | التعليل الرياضي |
|---|---|---|
| 1. رصد التعامد الأول | بما أن الوجه $ABFE$ مربع، فإن ضلعيه المتجاورين متعامدان: $(AE) \perp (AB)$. | من خواص أوجه المكعب المربعة. |
| 2. رصد التعامد الثاني | بما أن الوجه $ADHE$ مربع، فإن ضلعيه المتجاورين متعامدان: $(AE) \perp (AD)$. | من خواص أوجه المكعب المربعة. |
| 3. فحص شروط المبرهنة | المستقيمان $(AB)$ و $(AD)$ محتوان في المستوي $(ABC)$ وهما مستقيمان متقاطعان في النقطة $A$. | $(AB) \cap (AD) = \{A\}$ |
| 4. صياغة النتيجة النهائية | المستقيم $(AE)$ عمودي على مستقيمين متقاطعين $(AB)$ و $(AD)$ من المستوي $(ABC)$، فهو عمودي على المستوي $(ABC)$. | تطبيق المبرهنة المرجعية للتعامد. |
قاعدة الصيانة المعرفية:
بمجرد إثبات أن مستقيماً $(D)$ عمودي على مستوٍ $(P)$، يمكنك استخدام هذه النتيجة مباشرة لإثبات أن $(D)$ عمودي على أي مستقيم ثالث محتوى في $(P)$، حتى وإن لم يتقاطعا هندسياً.