يكون مستقيم عمودياً على مستوٍ في الفضاء إذا وفقط إذا كان عمودياً على جميع مستقيمات هذا المستوي. ولتسهيل الإثبات البرهاني، نعتمد المبرهنة المرجعية التالية:
نص المبرهنة: يكون مستقيم $(D)$ عمودياً على مستوٍ $(P)$ إذا وفقط إذا كان عمودياً على مستقيمين متقاطعين من المستوي $(P)$.
3. مثال تطبيقي (إثبات تعامد مستقيم ومستوٍ في حرف مكعب)
ليكن $ABCDEFGH$ مكعباً. أثبت أن المستقيم $(AE)$ عمودي على المستوي القاعدي $(ABC)$.
المرحلة البرهانية
خطوات الاستدلال الهندسية
التعليل الرياضي
1. رصد التعامد الأول
بما أن الوجه $ABFE$ مربع، فإن ضلعيه المتجاورين متعامدان: $(AE) \perp (AB)$.
من خواص أوجه المكعب المربعة.
2. رصد التعامد الثاني
بما أن الوجه $ADHE$ مربع، فإن ضلعيه المتجاورين متعامدان: $(AE) \perp (AD)$.
من خواص أوجه المكعب المربعة.
3. فحص شروط المبرهنة
المستقيمان $(AB)$ و $(AD)$ محتوان في المستوي $(ABC)$ وهما مستقيمان متقاطعان في النقطة $A$.
$(AB) \cap (AD) = \{A\}$
4. صياغة النتيجة النهائية
المستقيم $(AE)$ عمودي على مستقيمين متقاطعين $(AB)$ و $(AD)$ من المستوي $(ABC)$، فهو عمودي على المستوي $(ABC)$.
تطبيق المبرهنة المرجعية للتعامد.
قاعدة الصيانة المعرفية:
بمجرد إثبات أن مستقيماً $(D)$ عمودي على مستوٍ $(P)$، يمكنك استخدام هذه النتيجة مباشرة لإثبات أن $(D)$ عمودي على أي مستقيم ثالث محتوى في $(P)$، حتى وإن لم يتقاطعا هندسياً.