1. التأسيس الدستوري للقيمة المتوسطة

لتكن $f$ دالة عدديّة متصفة بالاستمرار على مجال حقيقي مغلق $[a, b]$ حيث يشترط تباين الحدين ($a \neq b$). نرمز للقيمة المتوسطة (Mean Value) للتابع $f$ صلب هذا النطاق بالمقدار العددي الحقيقي $\mu$ المعرف وفق الصيغة القياسية التالية:

$ \mu = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f(x) \, dx $

2. التفسير الهندسي (المقايسة بالمستطيل المتكافئ مساحياً)

تترجم القيمة المتوسطة $\mu$ هندسيّاً باعتبارها الارتفاع النظامي للمستطيل المرجعي الذي يتطابق طول قاعدته مع سعة المجال الفاصل $(b-a)$، وتتطابق مساحته الإجمالية صراحة مع المساحة الجبرية للحيز المحصور تحت المنحنى البياني الممثل للدالة $f$.

وبناءً عليه، يؤول النموذج إلى إحلال هندسي متكافئ يتم بموجبه تعويض حيز المساحة ذي الرتابة المنحنية بمساحة مستطيل مستوٍ مكافئ له تماماً صلب النسيج القياسي.

3. تطبيق تحليلي نموذجي (معايرة النظم الحركية الزمنية)

المسألة: يتغير تابع السرعة الفورية لنظام حركي مادي وفق الدالة الزمنية: $v(t) = 2t$ صلب المجال الزمني المقيد بالفترة $[0, 3]$. عيّن المقدار الدقيق للسرعة المتوسطة لهذا النظام.

المسار الحلولي الحصيل: نطبق القانون الدستوري للقيمة المتوسطة على المجال المذكور:

$ \mu = \frac{1}{3 - 0} \int_{0}^{3} 2t \, dt $

1. نحسب المحصلة العددية للتكامل المحدد: $\int_{0}^{3} 2t \, dt = [t^2]_0^3 = (3)^2 - (0)^2 = 9$.

2. نزن القيمة الناتجة بمقلوب سعة المجال: $\mu = \frac{1}{3} \times 9 = 3$.

تؤول السرعة المتوسطة للنظام حتماً إلى القيمة العددية الصارمة $3$ صلب النطاق الإحداثي المعطى.

4. مبرهنة الوجود (امتداد مبرهنة القيم المتوسطة)

بموجب استمرار التابع $f$ على المجال المغلق $[a, b]$، يثبت وجود عنصر حقيقي وحيد على الأقل $c$ ينتمي إلى المجال المفتوح $]a, b[$ يحقق التكافؤ البنيوي التالي:

$ f(c) = \mu $

وهذا يقضي هندسيّاً بأن المنحنى البياني للتابع يقطع حتماً الخط الأفقي المقترن بالقيمة المتوسطة صلب نقطة واحدة على الأقل ضمن نطاق المكاملة الحاصل.

---