1. المنطوق الدستوري للنظرية الأساسية في الحساب التكاملي

لتكن $f$ دالة عدديّة متصفة بالاستمرار على مجال حقيقي مغلق $[a, b]$، ولتكن $F$ دالة أصلية نظامية لها صلب ذات النطاق. يُصاغ التكامل المحدد للتابع $f$ من الحد الأدنى $a$ إلى الحد الأعلى $b$ باعتباره الفارق العددي الدقيق بين قيمتي الدالة الأصلية المعزولة عند طرفي المجال الحاصل، وفق المقايسة الدستورية التالية:

$ \int_{a}^{b} f(x) \, dx = [F(x)]_{a}^{b} = F(b) - F(a) $

2. المبرر التحليلي لاختزال حيز التعدد الجبري $c$

يقتضي التأسيس المنهجي تفسير علة غياب ثابت التكامل الجبري $c$ (الذي لازم صياغة الفضاء الكلي للدوال الأصلية) صلب مخرجات التكامل المحدد؛ حيث يُلاحظ تحليليّاً عند إجراء المعايرة الحسابية لفرق الحواصر الفاصلة $F(b) - F(a)$ ظهور البنية التالية:

$ (F(b) + c) - (F(a) + c) = F(b) + c - F(a) - c = F(b) - F(a) $

يترتب على هذا التماثل الإشاري العكسي تلاشي حد التعدد الثابت وانعدامه تباعدياً صلب بروتوكول الطرح، مما يضمن الاتساق الطوبولوجي الحصيلي للتكامل المحدد كقيمة عددية ثابتة ومستقلة كلياً عن شروط التعدد الجبري.

3. البروتوكول الإجرائي المسترسل لحساب التكامل المحدد

4. تطبيق تحليلي نموذجي معير

المسألة: احسب المقدار العددي للتكامل المحدد التالي: $ \int_{1}^{2} 3x^2 \, dx $.

المسار الحلولي:

1. بالرجوع إلى قواعد دوال القوى المرجعية، فإن الدالة الأصلية للعبارة التربيعية $3x^2$ هي التابع التكعيبي: $F(x) = x^3$.

2. بتطبيق المنطوق الدستوري للنظرية الأساسية، نتحصل على المحصلة العددية الآتية:

$ [x^3]_{1}^{2} = (2)^3 - (1)^3 = 8 - 1 = 7 $

تؤول النتيجة الصارمة إلى القيمة العددية $7$، وتُقيد هندسيّاً بـ $7$ وحدات لقياس المساحات المستوية ($7 \text{ u.a.}$) شريطة اتصاف التابع بالوضعية الموجبة تماماً فوق نطاق المكاملة المعطى.

---