1. طريقة البرهان بالخلف (Reductio ad absurdum)

نفترض جدلاً أن مجموعة الأعداد الأولية منتهية، ونرمز لها بـ $P = \{P_1, P_2, \dots, P_n\}$.

ننشئ العدد الطبيعي $N$ التالي:

$N = (P_1 \times P_2 \times \dots \times P_n) + 1$

2. تحليل العدد N

• عند قسمة $N$ على أي عدد أولي $P_i$ من قائمتنا، يكون باقي القسمة دائماً هو $1$.

• هذا يعني أن $N$ لا يقبل القسمة على أي عدد أولي من قائمتنا المفترضة.

• وحسب المبرهنة الأساسية في الحساب، فإن $N$ إما أن يكون أولياً (وهو غير موجود في القائمة) أو له قاسم أولي غير موجود في القائمة.

3. الاستنتاج

في كلتا الحالتين، نصل إلى تناقض مع فرضية أن القائمة $P$ تحتوي على جميع الأعداد الأولية.

إذن، فرضية التناهي خاطئة، وعدد الأعداد الأولية لا متناهٍ.