تقبل الدالة العددية $f$ قيمة حدية محلية عند القيمة الحقيقية $x_0$ من المجال $I$، إذا وجد جوار مفتوح $J$ محتواة في $I$ ويشمل $x_0$ بحيث تكون صورة هذه القيمة ($f(x_0)$) هي المقدار الأقصى أو الأدنى لصور عناصر هذا الجوار.
يستوجب الشرط التحليلي الضروري والكافي لوجود قيمة حدية محلية انعدام الدالة المشتقة الأولى $f'(x)$ عند القيمة $x_0$ مع تغيير إشارتها الجبرية حتماً عند عبور هذه الفاصلة.
إذا انعدمت الدالة المشتقة $f'$ عند $x_0$ وغيرت إشارتها الجبرية، فإن المقدار الحقيقي $f(x_0)$ هو قيمة حدية محلية للدالة $f$.
يتحدد الصنف الجبري والنوعي للقيمة الحدية المحلية بالاعتماد على طبيعة التغير الإشاري للعبارة المشتقة من اليسار إلى اليمين حول الفاصلة الحاضنة وفق الضوابط التالية:
| طبيعة التغير الإشاري للدالة المشتقة بجوار $x_0$ | السلوك الراتبي المقابل للدالة العددية $f$ | التصنيف النظامي للمحطة الحدية الحصيلة |
|---|---|---|
| تتغير الإشارة من الموجب إلى السالب ($+ \to -$) | تنتقل الدالة من التزايد التام إلى التناقص التام. | قيمة حدية عظمى محلية (ذروة عليا). |
| تتغير الإشارة من السالب إلى الموجب ($- \to +$) | تنتقل الدالة من التناقص التام إلى التزايد التام. | قيمة حدية صغرى محلية (قاع سفلي). |
تُمثل القيمة الحدية المطلقة المقدار الحقيقي الأقصى (أو الأدنى) الشامل الذي تبلغه الدالة العددية $f$ على كامل حيز تعريفها $D_f$، وليس في جوار نقطي محدود؛ بحيث يتحقق من أجل كل $x \in D_f$ أن $f(x) \leq f(x_0)$ في حالة العظمى المطلقة، أو $f(x) \geq f(x_0)$ في حالة الصغرى المطلقة.
امتداد منطقي: كل قيمة حدية مطلقة للدالة هي بالضرورة قيمة حدية محلية لها، في حين أن العكس الرياضي غير صحيح متطابقاً.
إذا انعدمت الدالة المشتقة الأولى عند فاصلة معلومة $x_0$ دون أن تغير إشارتها الجبرية (كأن تحافظ على الإشارة الموجبة قبل وبعد الفاصلة)، يُعلن صراحة غياب أي قيمة حدية محلية عند تلك النقطة. وتُفسر هذه المحطة هندسياً وثنائياً بأنها 'نقطة انعطاف'، حيث يواصل المنحنى البياني رتابته الأصلية بعد قبول مماس أفقي انتقالي ومؤقت عند الفاصلة المذكورة.
بالرجوع إلى جدول التغيرات الحصيل لدراسة الدالة كثير الحدود $f(x) = x^3 - 3x$ المستخرجة في المبحث السابق، يتم استنتاج الأحكام التحليلية التالية صراحة:
| المركب النقطي الحرج | السلوك التفاضلي المبرهن في الجدول | الحكم المنهجي والاستنتاج النهائي |
|---|---|---|
| عند الفاصلة $x = -1$ | انعدمت العبارة المشتقة $f'(-1)=0$ وغيرت إشارتها الجبرية حركياً من $+$ إلى $-$ | المقدار $f(-1) = 2$ هو قيمة حدية عظمى محلية للدالة. |
| عند الفاصلة $x = 1$ | انعدمت العبارة المشتقة $f'(1)=0$ وغيرت إشارتها الجبرية حركياً من $-$ إلى $+$ | المقدار $f(1) = -2$ هو قيمة حدية صغرى محلية للدالة. |
تُمثل القيم الحدية المحلية هندسياً وتخطيطياً على المنحنيات البيانية $(\mathcal{C}_f)$ بأنها النقاط العينية التي يكون عندها المستقيم المماس أفقياً تماماً وموازياً لمحور الفواصل، حيث تكون معادلته الديكارتية خالية من المتغير الخطي وتصاغ بالصيغة الثابتة المستقلة: $y = f(x_0)$.