تُمثل هذه المبرهنة الجسر التحليلي الرابط بين الحساب الجبري لمؤشر الاشتقاق والسلوك الديناميكي للمنحنى البياني؛ حيث تسمح إشارة العبارة المشتقة بتحديد رتابة الدالة بصيغة قطعية. لتكن $f$ دالة عددية قابلة للاشتقاق على مجال $I$ من مجموعة الأعداد الحقيقية $\mathbb{R}$:
| الشرط الجبري لإشارة الدالة المشتقة $f'(x)$ | الحكم المنهجي المعتمد لاتجاه تغير الدالة $f$ |
|---|---|
| موجبة تماماً من أجل كل $x \in I$ ($f'(x) > 0$) | الدالة $f$ متزايدة تماماً على المجال $I$. |
| سالبة تماماً من أجل كل $x \in I$ ($f'(x) < 0$) | الدالة $f$ متناقصة تماماً على المجال $I$. |
| معدومة متطابقة من أجل كل $x \in I$ ($f'(x) = 0$) | الدالة $f$ ثابتة تماماً على المجال $I$. |
إن دراسة اتجاه تغير أي دالة عددية $f$ تؤول منهجياً وضرورة في سياق التحليل الرياضي إلى تحديد الإشارة الجبرية لعبارة دالتها المشتقة $f'$ على حيز تعريفها.
| المرحلة المقررة | الإجراء التحليلي والرياضي الصريح |
|---|---|
| الخطوة الأولى | حساب العبارة الجبرية للدالة المشتقة $f'(x)$ مع تحديد مجال اشتقاقها. |
| الخطوة الثانية | حل المعادلة التحليلية $f'(x) = 0$ لتعيين الفواصل النقطية التي تنعدم عندها المماسات. |
| الخطوة الثالثة | دراسة إشارة الثنائيات أو الحدود المشكلة لـ $f'(x)$ وتنظيمها في جدول الإشارة. |
| الخطوة الرابعة | استنتاج اتجاه الرتابة وتلخيص الحصيلة في جدول التغيرات النظامي مدعماً بالنهايات. |
عند اشتقاق الدوال الكسرية والناطقة، تؤول البنية الجبرية للمقام إلى مربع كامل ($[v(x)]^2$)، وهو مقدار موجب تماماً على مجال التعريف. يفرض هذا هندسياً اقتصار فحص الإشارة الجبرية للدالة المشتقة على دراسة إشارة عبارة البسط فقط، ويُمنع منهجياً نشر حدود المقام لتفادي تعقيد الرتب الحسابية دون جدوى.
لتكن $f$ الدالة العددية المعرفة على $\mathbb{R}$ بالعبارة التحليلية التالية: $f(x) = x^3 - 3x$.
حساب العبارة المشتقة: بتطبيق دساتير المألوفات نجد: $f'(x) = 3x^2 - 3$.
التحليل الجبري للإشارة: نضع $f'(x) = 0 \implies 3(x^2 - 1) = 0 \implies 3(x-1)(x+1) = 0$، ومنه تنعدم العبارة المشتقة صراحة عند الفاصلتين المتناظرتين: $x = -1$ و $x = 1$.
| $x$ | $-\infty$ | $-1$ | $1$ | $+\infty$ | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $f'(x)$ | $+$ | $0$ | $-$ | $0$ | $+$ | ||
| $f(x)$ | $-\infty$ | $\nearrow$ | $2$ | $\searrow$ | $-2$ | $\nearrow$ | $+\infty$ |
تُترجم المقاربة السهمية في السطر الثالث لجدول التغيرات النظامي التغيرات الإشارية المسجلة في السطر التفاضلي الثاني؛ حيث يعبر الرمز التفاضلي ($\nearrow$) عن التزايد التام للدالة توافقاً مع الإشارة الموجبة، في حين يعبر الرمز ($\searrow$) عن التناقص التام توافقاً مع الإشارة السالبة، مع تسجيل الصور العددية المباشرة للمحطات الحدية حيث: $f(-1)=2$ و $f(1)=-2$.