1. المنطوق النظري لمبرهنة القسمة الإقليدية

تقضي المبرهنة البنيوية للقسمة صلب مجموعة الأعداد الصحيحة النسبيّة $\mathbb{Z}$، بأنه لأجل كل عدد صحيح نسبي $a$ (المقسوم) وعدد صحيح طبيعي غير معدوم $b$ (المقسوم عليه، حيث $b \in \mathbb{N}^*$)، يوجد ثنائي وحيد من الأعداد الصحيحة النسبيّة $(q, r)$ يستوفي صراحة الصياغة الدستورية الآتية:

$a = bq + r$

مع الخضوع الحتمي لشرط الحصر القانوني والضروري للباقي:

$0 \leq r < b$

حيث يُصطلح تحليليّاً على تسمية المقدار صحيح القيمة $q$ بـ حاصل القسمة (Quotient)، والمقدار $r$ بـ باقي القسمة الإقليدية (Remainder).

2. المعايرة التحليلية لشرط حصر الباقي وضمان الوحدانية

يُمثل شرط الحصر $0 \leq r < b$ المحدد الطوبولوجي الحاصم لضمان وحدانية الثنائية $(q, r)$؛ إذ بدون هذا التقييد الجبري يؤول النظام إلى عدد غير منتهٍ من التمثيلات الخطية الصالحة للمقسوم $a$.

النموذج التطبيقي الأول صلب النطاق الموجب ($a > 0$): عند مقايسة العدد $17$ على القاسم $5$، تستقر الصياغة القانونية عند:

$17 = 5 \times 3 + 2$

حيث يستوفي الباقي $r = 2$ شرط المقارنة الصارم $0 \leq 2 < 5$.

3. المقايسة الجبرية للقسمة الإقليدية في حال سلبية المقسوم ($a < 0$)

يستوجب التحليل الرياضي صلب نطاق الأعداد السالبة ($a < 0$) التزاماً بيداغوجيّاً صارماً بـ إيجابية الباقي $r$ تماشياً مع نص المبرهنة، مما يفرض تعديل قيمة الحاصل $q$ نحو الأدنى.

النموذج التطبيقي الثاني صلب النطاق السالم ($a < 0$): عند مقايسة العدد $-17$ على القاسم $5$، تتشكل البنية الحاصرة كالآتي:

$-17 = 5 \times (-4) + 3$

حيث نلاحظ لزوم اختيار الحاصل $q = -4$ (وليس $-3$) لضمان استخراج باقٍ حقيقي موجب تماماً وهو $r = 3$ يستوفي القيد المنهجي $0 \leq 3 < 5$.

---