يتميز مؤثر الاشتقاق بكونه تطبيقاً خطياً على فضاء الدوال؛ بحيث تتوزع عملية الاشتقاق مباشرة على مجموع دالتين أو تفاضلهما، ولا تتأثر بالمعاملات العددية الثابتة المضروبة في العبارة الدالية، وفق القواعد المنهجية التالية:
| العملية الجبرية المقررة | البنية التحليلية للدالة | صيغة العبارة المشتقة الناتجة |
|---|---|---|
| مجموع دالتين | $u + v$ | $u' + v'$ |
| الضرب في عدد حقيقي ثابت | $k \cdot u$ (حيث $k \in \mathbb{R}$) | $k \cdot u'$ |
يستوجب حساب مشتقات الجداءات والحواصل الكسرية الالتزام التام بالدساتير التحليلية المبرهنة؛ حيث إن العبارة المشتقة للجداء لا تكافئ جبرياً جداء المشتقات الفرعية، وتتحدد القوانين المنظمة للعمليات كالآتي:
| العملية التحليلية | الصيغة البنيوية للدالة | الدستور الجبري المعتمد للعبارة المشتقة |
|---|---|---|
| جداء دالتين | $u \cdot v$ | $u'v + v'u$ (مشتق الأول في الثاني + مشتق الثاني في الأول) |
| مقلوب دالة عددية | $\frac{1}{v}$ | $-\frac{v'}{v^2}$ |
| حاصل قسمة دالتين | $\frac{u}{v}$ | $\frac{u'v - v'u}{v^2}$ |
عند تطبيق دستور اشتقاق دالة حاصل القسمة ($\frac{u}{v}$)، يُشترط الالتزام بالبدء بحساب جداء مشتق البسط في المقام ($u'v$) مطروحاً منه جداء مشتق المقام في البسط ($v'u$). يُعد هذا الترتيب جبرياً إلزامياً وحاسماً نظراً لأن عملية الطرح في مجموعة الأعداد الحقيقية ليست تبديلية، وأي عكس للحدود يؤدي مباشرة إلى تغيير إشارة العبارة المشتقة وبالتالي اختلال دراسة اتجاه التغير.
لتكن $f$ الدالة الناطقة المعرفة على المجال $]3; +\infty[$ بالعبارة: $f(x) = \frac{2x + 1}{x - 3}$.
المطلوب: احسب العبارة الجبرية للدالة المشتقة $f'(x)$.
| المراحل المنهجية للحساب | الإجراء الجبري والتعويض الصريح في الدستور |
|---|---|
| 1. تعيين المكونات ومشتقاتها الفرعية | البسط: $u(x) = 2x + 1 \implies u'(x) = 2$ المقام: $v(x) = x - 3 \implies v'(x) = 1$ |
| 2. تطبيق دستور حاصل القسمة | $f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - v'(x)u(x)}{[v(x)]^2} \implies f'(x) = \frac{(2)(x - 3) - (1)(2x + 1)}{(x - 3)^2}$ |
| 3. النشر والتبسيط الجبري الصريح | $f'(x) = \frac{2x - 6 - 2x - 1}{(x - 3)^2} \implies f'(x) = \frac{-7}{(x - 3)^2}$ |
عندما تؤول البنية الجبرية للدالة الكسرية إلى شكل يكون فيه البسط عدداً حقيقياً ثابتاً والمقام دالة عددية معقدة (أي بصيغة $\frac{k}{v}$)، يُنصح منهجياً بتطبيق الامتداد المباشر لدستور المقلوب المعطى بالعبارة: $-\frac{k \cdot v'}{v^2}$، وذلك لاختصار الخطوات الحسابية وتجنب نشر الحدود المعدومة حتماً.