مبرهنة اشتقاق الدوال المركبة وتطبيق قاعدة السلسلة
التركيب الدالي وبنية الدوال المشتقة لمركبات الدوال المرجعية والخطية
1. المبدأ التحليلي لتركيب الدوال العددية
يُمثل تركيب دالتين عدديين $u$ و $v$ عملية طوبولوجية تُنتج دالة جديدة تُصاغ بالترميز التحليلي $v \circ u$. ويشترط لحساب الدالة المشتقة لهذا التركيب عدم الاكتفاء باختزال المؤثر الحسابي على العبارة المحيطية الخارجية فقط، بل يستوجب الدستور التحليلي إدراج مشتقة الدالة الحاضنة الداخلية كمعامل تضخيم أساسي للعبارة الحصيلة.
2. مبرهنة قاعدة السلسلة (الدستور العام للاشتقاق المركب)
لتكن $u$ دالة عددية قابلة للاشتقاق على مجال $I$، ولتكن $v$ دالة عددية قابلة للاشتقاق على مجال $J$ حيث يشترط احتواء المجالات ($u(I) \subset J$).
تنص المبرهنة الوزارية على أن الدالة المركبة $v \circ u$ تكون قابلة للاشتقاق على المجال $I$، وتتحدد عبارة دالتها المشتقة وفق قاعدة السلسلة (Chain Rule) بالدستور الجبري التالي:
$$(v \circ u)'(x) = u'(x) \cdot v'(u(x))$$
3. الدساتير النظامية لمركبات الدوال المرجعية المألوفة
بالاعتماد على الدستور العام لتركيب الدوال، تُستنتج الصيغ الفورية المنظمة لاشتقاق الأشكال البنيوية الأكثر تداولاً في التحليل الرياضي وفق الجدول النظامي التالي:
| الصيغة البنيوية لمركب الدالة | الدستور الجبري المعتمد للعبارة المشتقة | النطاق والشروط التحليلية |
|---|---|---|
| $[u(x)]^n$ ($n \in \mathbb{N}^*$) | $n \cdot u'(x) \cdot [u(x)]^{n-1}$ | تكون $u$ قابلة للاشتقاق على $I$. |
| $\sqrt{u(x)}$ | $\frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}$ | تكون $u$ قابلة للاشتقاق وموجبة تماماً: $u(x) > 0$. |
| $\sin(ax+b)$ | $a \cdot \cos(ax+b)$ | التركيب التآلفي المعرف على $\mathbb{R}$. |
| $\cos(ax+b)$ | $-a \cdot \sin(ax+b)$ | التركيب التآلفي المعرف على $\mathbb{R}$. |
يُعد حساب مشتقة الدالة الداخلية $u'(x)$ وتقديمها كمعامل ضرب خارجي ركناً أساسياً يمنع السهو الحسابي؛ حيث إن إغفال ضرب المقدار في $u'(x)$ يُعد خطأً تحليلياً فادحاً يبطل دراسة الإشارة واتجاه التغير اللاحق تماماً.
4. تطبيق نموذجي مشروح (اشتقاق مركب دالة صماء)
لتكن $f$ الدالة العددية المعرفة على مجموعة الأعداد الحقيقية $\mathbb{R}$ بالعبارة: $f(x) = \sqrt{x^2 + 3}$.
المطلوب: احسب باستخدام دساتير التركيب العبارة الجبرية للدالة المشتقة $f'(x)$.
| المرحلة التحليلية المقررة | الإجراء الجبري والتعويض التحليلي الصريح |
|---|---|
| 1. تعيين الدالة الحاضنة وحساب مشتقتها | الدالة الداخلية: $u(x) = x^2 + 3$ (عبارة موجبة تماماً على $\mathbb{R}$) المشتقة الفرعية: $u'(x) = 2x$ |
| 2. تطبيق دستور اشتقاق الجذر المركب | بتطبيق الصيغة النظامية: $f'(x) = \frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}} \implies f'(x) = \frac{2x}{2\sqrt{x^2 + 3}}$ |
| 3. الاختزال والتبسيط الجبري الحصيل | بإخراج العامل المشترك واختزال العدد $2$ من البسط والمقام: $f'(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 3}}$ |
بإتمام هذا المبحث، يكتمل البناء النظامي لترسانة الحساب الجبري للدوال المشتقة المقررة في المنهج، مما يؤهل الطالب للانتقال نحو دراسة الامتدادات والربط التحليلي بين خصائص الاستمرارية الطوبولوجية وقابلية المماسة الهندسية للمنحنيات.