1. مبرهنة نهاية دالة مركبة

تسمح مبرهنة نهاية دالة مركبة بتعيين نهاية دالة تنتج عن تركيب دالتين متتاليتين، حيث تُحسب النهاية على مرحلتين متتابعتين بحيث تؤول مخرجات الدالة الأولى لتصبح مدخلات للدالة الثانية.

نص المبرهنة: لتكن $f$ و $g$ دالتين عدديتين، و $a$، $b$، $c$ أعداداً حقيقية أو قيم لانهاية ($\pm\infty$).

إذا كانت نهاية الدالة $g$ عند $a$ هي $b$، وكانت نهاية الدالة $f$ عند $b$ هي $c$، فإن نهاية الدالة المركبة $f \circ g$ عند $a$ هي $c$.

نعبر عن المبرهنة تحليلياً كالآتي:

$\begin{cases}\lim\limits_{x \to a} g(x) = b \\ \lim\limits_{X \to b} f(X) = c \end{cases} \implies \lim\limits_{x \to a} (f \circ g)(x) = c$

2. تقنية تغيير المتغير

تُعد تقنية تغيير المتغير إجراءً تحليلياً يُستعمل لتبسيط العبارات الجبرية الصماء أو المركبة وتسهيل حساب نهايتها، وذلك باستبدال العبارة الداخلية بمتغير وسيط واحد (نرمز له بالرمز $X$) لتحويل الدالة إلى شكل مرجعي مألوف.

الخطوات المنهجية لتطبيق التقنية:

1. وضع المتغير الوسيط: نرمز للعبارة الداخلية بمتغير جديد بوضع: $X = g(x)$.

2. تعيين المآل الجديد: نحسب نهاية الدالة الداخلية $g$ عندما يؤول المتغير الأصلي $x$ نحو القيمة المستهدفة $a$ لتحديد مآل المتغير الجديد $X$ (إذا كان $\lim\limits_{x \to a} g(x) = b$ فإن $X \to b$).

3. الحساب النهائي: نعيد صياغة عبارة النهاية بدلالة المتغير $X$ والمآل الجديد $b$ ثم نحسب القيمة النهائية: $\lim\limits_{X \to b} f(X)$.

3. مثال تطبيقي نموذجي

المطلوب حساب النهاية التالية:

$\lim\limits_{\substack{x \to 0 \\ x > 0}} \cos(\sqrt{x})$

العبارة تمثل تركيب دالة الجذر التربيعي متبوعة بدالة الجيب تمام. لتسهيل الحساب نطبق تقنية تغيير المتغير وفق الخطوات التالية:

1. نضع المتغير الوسيط مساوياً للدالة الداخلية: $X = \sqrt{x}$.

2. عند تعيين مآل المتغير الجديد، نجد أنه عندما يؤول $x$ إلى $0$ بقيم أكبر ($x \to 0$ و $x > 0$)، فإن $X$ يؤول بدوره إلى $0$ ($X \to 0$).

3. بالتعويض، تتحول النهاية مباشرة إلى نهاية نموذجية دالة مرجعية:

$\lim\limits_{X \to 0} \cos(X) = \cos(0) = 1$

إذن: $\lim\limits_{\substack{x \to 0 \\ x > 0}} \cos(\sqrt{x}) = 1$.

---