1. مبرهنة نهاية دالة مركبة

تسمح مبرهنة نهاية دالة مركبة بتعيين نهاية دالة تنتج عن تركيب دالتين متتاليتين، حيث تُحسب النهاية على مرحلتين متتابعتين بحيث تؤول مخرجات الدالة الأولى لتصبح مدخلات للدالة الثانية.

نص المبرهنة: لتكن $f$ و $g$ دالتين عدديتين، و $a$، $b$، $c$ أعداداً حقيقية أو قيم لانهاية ($\pm\infty$).

إذا كانت نهاية الدالة $g$ عند $a$ هي $b$، وكانت نهاية الدالة $f$ عند $b$ هي $c$، فإن نهاية الدالة المركبة $f \circ g$ عند $a$ هي $c$.

نعبر عن المبرهنة تحليلياً كالآتي:

$\begin{cases}\lim\limits_{x \to a} g(x) = b \\ \lim\limits_{X \to b} f(X) = c \end{cases} \implies \lim\limits_{x \to a} (f \circ g)(x) = c$

2. تقنية تغيير المتغير

تُعد تقنية تغيير المتغير إجراءً تحليلياً يُستعمل لتبسيط العبارات الجبرية الصماء أو المركبة وتسهيل حساب نهايتها، وذلك باستبدال العبارة الداخلية بمتغير وسيط واحد (نرمز له بالرمز $X$) لتحويل الدالة إلى شكل مرجعي مألوف.

الخطوات المنهجية لتطبيق التقنية:

1. وضع المتغير الوسيط: نرمز للعبارة الداخلية بمتغير جديد بوضع: $X = g(x)$.

2. تعيين المآل الجديد: نحسب نهاية الدالة الداخلية $g$ عندما يؤول المتغير الأصلي $x$ نحو القيمة المستهدفة $a$ لتحديد مآل المتغير الجديد $X$ (إذا كان $\lim\limits_{x \to a} g(x) = b$ فإن $X \to b$).

3. الحساب النهائي: نعيد صياغة عبارة النهاية بدلالة المتغير $X$ والمآل الجديد $b$ ثم نحسب القيمة النهائية: $\lim\limits_{X \to b} f(X)$.

3. أمثلة تطبيقية نموذجية

المثال الأول (حساب مباشر): حساب النهاية التالية عند الصفر بقيم أكبر:

$\lim\limits_{\substack{x \to 0 \\ x > 0}} \cos(\sqrt{x})$

تطبيق تقنية تغيير المتغير:

1. نضع المتغير الوسيط: $X = \sqrt{x}$.

2. تعيين المآل: عندما يؤول $ x \to 0^+$، فإن المتغير الجديد يؤول أيضاً إلى الصفر من اليمين ($X \to 0^+$).

3. التعويض والحساب: تتحول إلى نهاية مرجعية مباشرة: $\lim\limits_{X \to 0^+} \cos(X) = \cos(0) = 1$.

--------------------------------------------------

المثال الثاني (إزالة حالة عدم التعيين): احسب نهاية الدالة التالية بجوار اللانهاية الموجبة:

$\lim\limits_{x \to +\infty} x \sin\left(\frac{1}{x}\right)$

عند التعويض المباشر، نجد أن $x \to +\infty$ و $\frac{1}{x} \to 0$، وبما أن $\sin(0)=0$، فنحن أمام حالة عدم تعيين من الشكل $[\infty \times 0]$. لتفكيك هذه العقدة، نغير المتغير برؤية هندسية:

1. وضع المتغير المساعد: نختار مقلوب المتغير الأصلي كهدف للتنظيف: $X = \frac{1}{x}$ (وهذا يعني حتماً برمجياً أن $x = \frac{1}{X}$).

2. ترحيل المآل بدقة: عندما يؤول المتغير القديم نحو اللانهاية ($x \to +\infty$)، فإن مقلوبه يؤول حتماً نحو الصفر الموجب ($X \to 0^+$).

3. التعويض النهائي: باستبدال كل عناصر العبارة، تظهر لنا النهاية الشهيرة للدالة الجيبية:

$\lim\limits_{X \to 0^+} \frac{1}{X} \cdot \sin(X) = \lim\limits_{X \to 0^+} \frac{\sin(X)}{X} = 1$

إذن بفضل تقنية تغيير المتغير استأصلنا حالة عدم التعيين بنجاح: $\lim\limits_{x \to +\infty} x \sin\left(\frac{1}{x}\right) = 1$.