نهاية دالة كثير حدود ودالة ناطقة

حساب نهايات الدوال الجبرية عند اللانهاية باستخدام مبرهنة الحد الأعلى درجة

لا محاولة بعد...

1. نهاية دالة كثير حدود عند اللانهاية

تؤول دراسة نهاية دالة كثير حدود عند اللانهاية ($\pm\infty$) تحليلياً إلى دراسة مآل حدها الأعلى درجة، حيث يتبين بالتحليل واستخراج العامل المشترك أن مآل بقية الحدود يؤول إلى الصفر مقارنة بالحد ذي الأس الأكبر.

مبرهنة نظامية:

نهاية دالة كثير حدود عند $+\infty$ أو عند $-\infty$ هي نهاية حدها الأعلى درجة.

العبارة التحليلية	نهاية الحد الأعلى درجة	النتيجة النهائية
$f(x) = 3x^2 - 5x + 1$	$\lim\limits_{x \to +\infty} 3x^2$	$+\infty$
$g(x) = -2x^3 + x^2$	$\lim\limits_{x \to +\infty} -2x^3$	$-\infty$

العبارة التحليلية

نهاية الحد الأعلى درجة

النتيجة النهائية

$f(x) = 3x^2 - 5x + 1$

$\lim\limits_{x \to +\infty} 3x^2$

$+\infty$

$g(x) = -2x^3 + x^2$

$\lim\limits_{x \to +\infty} -2x^3$

$-\infty$

2. نهاية دالة ناطقة عند اللانهاية

الدالة الناطقة هي دالة تُكتب على شكل كسر حاصل قسمة كثيري حدود. عند دراسة نهايتها عند اللانهاية، تسمح مبرهنات الاختزال بحصر الحساب في النسبة المكونة من حدي البسط والمقام الأعلى درجة.

مبرهنة نظامية:

نهاية دالة ناطقة عند $+\infty$ أو عند $-\infty$ هي نهاية حاصل قسمة الحد الأعلى درجة في البسط على الحد الأعلى درجة في المقام.

الدالة الناطقة	حاصل قسمة الحدين الأعلى درجة	الاختزال والنتيجة النهائية
$f(x) = \frac{2x^2 + 1}{x^2 - 5}$	$\lim\limits_{x \to \pm\infty} \frac{2x^2}{x^2}$	$2$
$g(x) = \frac{x + 3}{x^2 + 1}$	$\lim\limits_{x \to \pm\infty} \frac{x}{x^2}$	$\lim\limits_{x \to \pm\infty} \frac{1}{x} = 0$
$h(x) = \frac{x^3}{x + 1}$	$\lim\limits_{x \to \pm\infty} \frac{x^3}{x}$	$\lim\limits_{x \to \pm\infty} x^2 = +\infty$

الدالة الناطقة

حاصل قسمة الحدين الأعلى درجة

الاختزال والنتيجة النهائية

$f(x) = \frac{2x^2 + 1}{x^2 - 5}$

$\lim\limits_{x \to \pm\infty} \frac{2x^2}{x^2}$

$2$

$g(x) = \frac{x + 3}{x^2 + 1}$

$\lim\limits_{x \to \pm\infty} \frac{x}{x^2}$

$\lim\limits_{x \to \pm\infty} \frac{1}{x} = 0$

$h(x) = \frac{x^3}{x + 1}$

$\lim\limits_{x \to \pm\infty} \frac{x^3}{x}$

$\lim\limits_{x \to \pm\infty} x^2 = +\infty$

شرط مجالي حاسم:

تُطبق مبرهنتا الحد الأعلى درجة وحاصل قسمة الحدين الأعلى درجة فقط وفقط عند اللانهاية ($+\infty$ أو $-\infty$). ويُمنع منعاً باتاً الاعتماد عليهما عند حساب نهاية الدالة عند قيمة حقيقية منتهية $a$.