مجموعات النقط وتعيين طبيعتها هندسياً

لا محاولة بعد...

1. طريقة تبسيط العبارات الشعاعية لعزل النقطة M

لتحديد طبيعة مجموعة النقط $M$ من المستوي التي تحقق مساواة شعاعية تتضمن الطويلة، نعتمد على قاعدة أساسية: اختزال المجموع الشعاعي باستعمال الخاصية المميزة للمرجح. الهدف هو تحويل مجموع الأشعة إلى أطوال ومسافات مألوفة (مثل المسافة بين نقطة ثابتة ونقطة متحركة، أو المسافة بين نقطتين ثابتتين ونقطة متحركة).

2. الحالة الأولى: مجموعة النقط التي تشكل دائرة

تنتج الدائرة عندما نختزل طرفاً يحوي النقطة المتحركة $M$ بدلالة المرجح، في حين يؤول الطرف الآخر إلى طول ثابت (عدد حقيقي موجب $k$) مستقل تماماً عن النقطة $M$:

$$\left\| \alpha \vec{MA} + \beta \vec{MB} + \gamma \vec{MC} \right\| = k \quad (\text{مع } \alpha+\beta+\gamma \neq 0)$$

باستعمال الخاصية المميزة للمرجح $G$، يُختزل المجموع الشعاعي داخل الطويلة كالتالي:

$$\left\| (\alpha+\beta+\gamma)\vec{MG} \right\| = k \implies |\alpha+\beta+\gamma| \cdot MG = k \implies MG = \frac{k}{|\alpha+\beta+\gamma|}$$

النتيجة الهندسية: مجموعة النقط $M$ هي دائرة مركزها النقطة الثابتة $G$ ونصف قطرها هو العدد الحقيقي الموجب $R = \frac{k}{|\alpha+\beta+\gamma|}$.

3. الحالة الثانية: مجموعة النقط التي تشكل محوراً عمودياً لقطعة مستقيمة

ينتج المحور العمودي لقطعة مستقيمة عندما نختزل الطرفين معاً بمرجحين مختلفين (مثلاً $G$ للطرف الأول و $G'$ للطرف الثاني)، لتؤول المساواة إلى تساوي المسافات بين النقطة $M$ ونقطتين ثابتتين:

$$\left\| \alpha \vec{MA} + \beta \vec{MB} \right\| = \left\| \alpha' \vec{MA} + \beta' \vec{MC} \right\|$$

بعد تبسيط العبارة الشعاعية بالاعتماد على الخاصية المميزة للمرجح في الطرفين، نجد:

$$|\alpha+\beta| \cdot MG = |\alpha'+\beta'| \cdot MG'$$

إذا تساوى مجموع المعاملات في الطرفين ($|\alpha+\beta| = |\alpha'+\beta'|$)، تختزل العبارة إلى: $MG = MG'$.

النتيجة الهندسية: مجموعة النقط $M$ هي المحور العمودي للقطعة المستقيمة $[GG']$.

4. مثال تطبيقي (تعيين طبيعة وعناصر مجموعة نقطية)

عين طبيعة وعناصر مجموعة النقط $M$ من المستوي التي تحقق العلاقة التالية:

$$\left\| 2\vec{MA} + \vec{MB} \right\| = \left\| 3\vec{MA} - 3\vec{MC} \right\|$$

المرحلة التطبيق وتوظيف الخواص النتيجة الهندسية
1. تبسيط الطرف الأول بما أن $2+1=3 \neq 0$، نعتبر $G$ مرجح الجملة $\{(A,2), (B,1)\}$.
باستعمال الخاصية المميزة ينتج: $2\vec{MA} + \vec{MB} = 3\vec{MG}$.		 الطرف الأول يؤول إلى الطول: $3MG$.
2. تبسيط الطرف الثاني مجموع المعاملات معدوم ($3-3=0$)، المرجح غير موجود.
نستخدم علاقة شال بإدخال النقطة $A$ في الشعاع الثاني:
$3\vec{MA} - 3(\vec{MA} + \vec{AC}) = -3\vec{AC}$.		 الطرف الثاني يؤول إلى الطول الثابت: $3AC$.
3. الربط والتبسيط $\left\| 3\vec{MG} \right\| = \left\| -3\vec{AC} \right\| \implies 3MG = 3AC \implies MG = AC$. تساوي المسافتين: $MG = AC$.
4. الاستنتاج بما أن $A$ و $C$ نقطتان ثابتتان، فإن الطول $AC$ ثابت تماماً.
مجموعة النقط $M$ هي دائرة مركزها $G$ ونصف قطرها هو الطول $AC$.		 دائرة مركزها $G$ ونصف قطرها $AC$.

5. تطبيقات وتمارين

السابق: خواص المرجح: التجميعية واختزال العبارات الشعاعية
التالي: الهندسة الفضائية والمقاطع المستوية
الفهرس