حساب نهايات الدوال باستعمال مبرهنات الحصر والمقارنة التحليلية
لا محاولة بعد...
1. المفهوم التحليلي لمبرهنة الحصر
تعتمد مبرهنة الحصر (التي تُعرف تاريخياً في بعض المراجع بمبرهنة الدرك) على حصر دالة عدادية معقدة بين دالتين معلومتي السلوك والمآل بجوار مركز جوار حقيقي أو لامتناهٍ. فإذا تقاربت الدالتان المحيطتان بالعبارة نحو نفس النهاية المنتهية، فإن الدالة المحصورة تُجبر هندسياً وتحليلياً على التقارب نحو نفس القيمة القطعية.
2. النص النظامي للمبرهنة
لتكن $f$، $g$، و $h$ دوالاً عدادية معرفة على مجال من الشكل $I$ بجوار قيمة $a$ (حيث $a$ عدد حقيقي أو $\pm\infty$)، و $L$ عدداً حقيقياً منتهياً.
الشروط التحليلية والمجالية
الاستنتاج الرياضي القطعي
إذا كان من أجل كل $x$ من $I$: $g(x) \le f(x) \le h(x)$
فإن الدالة $f$ تقبل نهاية عند $a$ وقيمتها:
وكانت النهايات الطرفية مستقرة عند: $\lim\limits_{x \to a} g(x) = L$ و $\lim\limits_{x \to a} h(x) = L$
$\lim\limits_{x \to a} f(x) = L$
3. دواعي استعمال مبرهنة الحصر
يُوجه التحليل نحو مبرهنة الحصر حتماً عند دراسة نهايات الدوال الجيبية الدورية (مثل دالتي الجيب وجيب التمام) أو الدوال المتذبذبة بجوار اللانهاية، حيث تمنع طبيعتها الدورية استقرارها المباشر، ويسمح حصرها البنيوي بتعيين مآل العبارات الكسرية أو الجداءات المرافقة لها.
4. تطبيق نموذجي مشروح
المطلوب تعيين النهاية التالية:
$\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{\cos(x)}{x}$
المرحلة المنهجية
الإجراء والتعيين الجبري
1. الحصر البنيوي الأساسي
نعلم أنه من أجل كل عدد حقيقي $x$، فإن دالة جيب التمام محدودة بالمجال: $-1 \le \cos(x) \le 1$
2. بناء وتعديل العبارة المستهدفة
بجوار $+\infty$ يكون المتغير موجباً تماماً ($x > 0$)، بالقسمة عليه لا تتغير صيغة الترتيب: $\frac{-1}{x} \le \frac{\cos(x)}{x} \le \frac{1}{x}$
3. حساب نهايات الدوال الحاصرة
تطبيق مبرهنة مقلوب اللانهاية المنتهية يعطي مباشرة: $\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{-1}{x} = 0$ و $\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{1}{x} = 0$
4. الاستنتاج تحليلياً
بما أن النهايات الطرفية متطابقة وتؤول إلى الصفر، فإنه حسب مبرهنة الحصر نجد: $\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{\cos(x)}{x} = 0$
5. مبرهنات المقارنة عند اللانهاية
تُستعمل مبرهنات المقارنة (النهايات غير المنتهية) لتحديد مآل الدوال نحو اللانهاية دون الحاجة لحصر مزدوج، وتصاغ مبرهنتها النظامية كالآتي:
1. المقارنة نحو المالانهاية الموجبة: إذا كان بجوار $a$: $f(x) \ge g(x)$ وكانت نهاية الدالة الصغرى تؤول إلى اللانهاية: $\lim\limits_{x \to a} g(x) = +\infty$، فإن الدالة الكبرى تؤول حتماً للمآل نفسه: $\lim\limits_{x \to a} f(x) = +\infty$.
2. المقارنة نحو المالانهاية السالبة: إذا كان بجوار $a$: $f(x) \le h(x)$ وكانت نهاية الدالة الكبرى تؤول إلى اللانهاية السالبة: $\lim\limits_{x \to a} h(x) = -\infty$، فإن الدالة الصغرى تؤول حتماً للمآل نفسه: $\lim\limits_{x \to a} f(x) = -\infty$.