1. المبرهنة الأساسية في نظرية الأعداد (Fundamental Theorem of Arithmetic)

تقضي المبرهنة البنيوية الأساسية في الحساب بأن كل عدد طبيعي $n$ يستوفي الشرط الصارم $n > 1$ يقبل صياغة تحليلية تفكيكية بطريقة وحيدة (باستثناء الترتيب التبادلي للعوامل) على شكل جداء عوامل أولية مرفوعة إلى أسس طبيعية:

$n = p_1^{\alpha_1} \times p_2^{\alpha_2} \times ... \times p_k^{\alpha_k}$

حيث تُمثل المقادير $p_i$ عناصر أولية متمايزة مثنى مثنى، وتستقر المؤشرات الأسية $\alpha_i$ صلب مجموعة الأعداد الطبيعية غير المعدومة $\mathbb{N}^*$.

2. التحديد الدالي لعدد القواسم الطبيعية الموجبة

إذا ثبت استقرار التفكيك النموذجي للعدد الطبيعي $n$ وفق الصيغة القياسية السابقة، فإن دالة حساب عدد القواسم الطبيعية الإجمالية (يُرمز لها وظيفيّاً بـ $\tau(n)$) تؤول تحليليّاً إلى الجداء التجميعي للمؤشرات الأسية مضافاً إليها العنصر الأحدي الحيادي:

$\tau(n) = (\alpha_1 + 1)(\alpha_2 + 1) \times ... \times (\alpha_k + 1)$

النموذج الحسابي المعاير: تفكيك المقدار $12$ يثبت استقراره عند العبارة: $12 = 2^2 \times 3^1$. ومنه يؤول مؤشر عدد القواسم صراحة إلى الحساب المنفصل الآتي: $(2+1)(1+1) = 3 \times 2 = 6$ قواسم طبيعية موجبة.

3. المقايسة التفكيكية للمقادير المشتركة والخاصة ($PGCD$ و $PPCM$)

• القاسم المشترك الأكبر ($\text{PGCD}$): يؤول استخراجه نظاميّاً إلى بناء جداء يقتصر على العناصر الأولية المشتركة فقط صلب التفكيكين، مع أخذها متبوعة بـأصغر مؤشر أسي معتمد.

• المضاعف المشترك الأصغر ($\text{PPCM}$): يؤول استخراجه نظاميّاً إلى بناء جداء يشمل جميع العناصر الأولية (المشتركة وغير المشتركة على حد سواء) صلب التفكيكين، مع أخذها متبوعة بـأكبر مؤشر أسي محقق.

---