يقبل الفضاء الهندسي تعيين مستوٍ وحيد وبشكل قطعي إذا توفرت شروط الارتباط الخطي والوضعية الهندسية للنقط والمستقيمات. يتحدد المستوي بشكل فريد بأربع طرق أساسية:
| الحالة الهندسية | الشروط الرياضية اللازمة | التعليل والارتباط الشعاعي |
|---|---|---|
| ثلاث نقط ليست في استقامية | لتكن $A$، $B$ و $C$ ثلاث نقط من الفضاء حيث الأشعة $\vec{AB}$ و $\vec{AC}$ غير مرتبطة خطياً. | النقط الثلاث تعين مستوياً وحيداً نرمز له بـ $(ABC)$. |
| مستقيم ونقطة لا تنتمي إليه | ليكن $(D)$ مستقيماً معلوماً، و $A$ نقطة في الفضاء حيث $A \notin (D)$. | بإدخال نقطتين $B$ و $C$ من $(D)$، نعود للحالة الأولى (ثلاث نقط ليست في استقامية). |
| مستقيمان متقاطعان | ليكن $(D_1)$ و $(D_2)$ مستقيمين يشتركان في نقطة وحيدة $A$. | نقطة التقاطع ونقطتان من المستقيمين تشكل ثنائية أشعة توجيه غير مرتبطة خطياً. |
| مستقيمان متوازيان تماماً | ليكن $(D_1)$ و $(D_2)$ مستقيمين متوازيين تماماً (لهما نفس شعاع التوجيه ولا يشتركان في أي نقطة). | الارتباط الخطي لأشعة التوجيه مع نقطة خارجية يسمح بضم المستقيمين في مستوٍ وحيد. |
تكون مجموعة من النقط في الفضاء متوحّدة في مستوٍ واحد (Coplanar) إذا كانت تنتمي جميعاً إلى نفس المستوي. من أجل أربع نقط $A$، $B$، $C$ و $D$ (حيث $A,B,C$ ليست في استقامية):
تنتمي النقطة $D$ إلى المستوي $(ABC)$ إذا وفقط إذا وُجد عددان حقيقيان $\alpha$ و $\beta$ يحققان العلاقة الشعاعية التالية:
$$\vec{AD} = \alpha \cdot \vec{AB} + \beta \cdot \vec{AC}$$
في الفضاء المزود بمعلم، نعتبر النقط: $A(1; 0; 2)$، $B(2; 1; -1)$ و $C(0; 2; 1)$. أثبت أن النقط $A$، $B$ و $C$ تعين مستوياً وحيداً.
| المرحلة الحسابية | خطوات الحل وتطبيق الشرط | النتيجة الرياضية |
|---|---|---|
| 1. حساب مركبات الأشعة | نحسب مركبات الشعاعين $\vec{AB}$ و $\vec{AC}$: $\vec{AB}(2-1; 1-0; -1-2) \implies \vec{AB}(1; 1; -3)$ $\vec{AC}(0-1; 2-0; 1-2) \implies \vec{AC}(-1; 2; -1)$ |
مركبات شعاعي التوجيه الأساسيين |
| 2. فحص الارتباط الخطي | نبحث عن وجود عدد حقيقي $k$ يحقق $\vec{AC} = k \cdot \vec{AB}$: من المركبة الأولى: $-1 = k(1) \implies k = -1$. نعوض في المركبة الثانية: $2 = (-1)(1) \implies 2 = -1$ (تناقض). |
الشعاعان غير مرتبطين خطياً |
| 3. صياغة الاستنتاج | بما أن الشعاعين غير مرتبطين خطياً، فإن النقط الثلاث لا تقع على مستقيم واحد. | النقط $A$، $B$ و $C$ ليست في استقامية، فهي تعين مستوياً وحيداً $(ABC)$. |
لإثبات أن مستقيماً ونقطة، أو مستقيمين، يعينان مستوياً؛ يجب دائماً تحويل المعطيات إلى ثنائية أشعة توجيه مستقلة (غير مرتبطة خطياً) تنطلق من نقطة معلومة.