مبرهنات التوازي في الفضاء

لا محاولة بعد...

يخضع توازي المستقيمات في الفضاء الإقليدي لمجموعتين من المبرهنات الأساسية التي تنظم انتقال التوازي عبر وسيط ثالث:

المبرهنة 1 (خاصية التعدي): إذا كان مستقيمان متوازيين، فإن كل مستقيم يوازي أحدهما يوازي الآخر حتماً. أي:

$$(D_1) \parallel (D_2) \quad \text{و} \quad (D_2) \parallel (D_3) \implies (D_1) \parallel (D_3)$$

المبرهنة 2: إذا كان مستقيمان متوازيين، فإن كل مستوٍ يقطع أحدهما يقطع الآخر حتماً.

يتحدد توازي مستقيم مع مستوٍ كامل بالاعتماد على وجود مستقيم جزئي داخل المستوي يحقق شرط التوازي الثنائي:

نص المبرهنة	الشرط الرياضي والهندسي	النتيجة القطعية
شرط التوازي الكافي	يكون مستقيم $(D)$ موازياً لمستوٍ $(P)$ إذا وفقط إذا كان يوازي مستقيماً $(D')$ محتوى في هذا المستوي $(P)$.	$(D) \parallel (D') \quad \text{و} \quad (D') \subset (P) \implies (D) \parallel (P)$
تقاطع مستويين متوازيين بمستقيم	إذا كان مستقيم $(D)$ موازياً لمستوٍ $(P)$، فإن كل مستوٍ $(Q)$ يشمل $(D)$ ويقطع $(P)$، يقطعه وفق مستقيم آخر يوازي $(D)$.	فصل التقاطع يكون موازياً للمستقيم الأصلي.

ليكن $ABCDEFGH$ مكعباً. أثبت أن المستقيم $(EF)$ يوازي المستوي $(ABC)$.

المرحلة البرهانية	خطوات الاستدلال الهندسية	التعليل الرياضي
1. رصد خواص الأوجه	بما أن $ABFE$ وجه من أوجه المكعب، فإن الشكل $ABFE$ هو مربع.	خواص المجسمات المنتظمة.
2. استنتاج التوازي الثنائي	من خواص المربع $ABFE$، نجد أن الضلعين المتقابلين متوازيان: $(EF) \parallel (AB)$.	توازي أضلاع الوجه الواحد.
3. تطبيق المبرهنة والربط الفضائي	بما أن المستقيم $(AB)$ هو مستقيم محتوى كلياً في المستوي القاعدي $(ABC)$.	$(AB) \subset (ABC)$
4. النتيجة النهائية	المستقيم $(EF)$ يوازي مستقيماً $(AB)$ محتوى في المستوي $(ABC)$، إذن المستقيم $(EF)$ يوازي المستوي $(ABC)$.	تطبيق مبرهنة شرط التوازي الكافي.

قاعدة:

لإثبات أن مستقيماً يوازي مستوياً، لا تحاول البحث عن علاقة مع المستوي ككل، بل ابحث عن مستقيم واحد مناسب محتوى داخل ذلك المستوي وأثبت توازيهما الثنائي.