تسمح مبرهنة القيم المتوسطة في حالتها الخاصة (الاستمرارية والرتابة الصارمة والحصر) بإثبات الوحدانية القطعية للحل $\alpha$ للمعادلة $f(x)=0$ على مجال مغلق $[a; b]$ دون القدرة على تعيين قيمته المضبوطة بأساليب جبرية مألوفة. يستوجب هذا القصور التحليلي اللجوء إلى خوارزميات تقريبية حسابية تهدف إلى تضييق الامتداد المجالي حول الجذر بشكل متتابع للوصول إلى قيم تقريبية بدقة معلومة.
تعتمد طريقة ثنائية التفرع (أو التنصيف) على التجزئة الدورية المنتظمة للمجال المستهدف $[a; b]$ إلى نصفين متساويين عند كل مرحلة حسابية، ثم تحديد النصف الفرعي الذي يحصر الحل $\alpha$ حتماً بالاعتماد على موازنة إشارة العبارة عند مركز التفرع، وفق المخطط الهيكلي التالي:
| المرحلة الخوارزمية | الإجراء التقني والحسابي | الهدف والمسوغ التحليلي |
|---|---|---|
| 1. تعيين مركز التفرع | حساب الإحداثية الوسطية للمجال: $m = \frac{a+b}{2}$ | تقسيم الحيز الجغرافي للمجال إلى فترتين متناظرتين. |
| 2. فحص الاتساق الإشاري | حساب المقدار العددي $f(m)$ ومقارنة إشارته الجبرية مع $f(a)$ | تحديد الفترة الفرعية الحاضنة للجذر استناداً لإشارة الجداء. |
| 3. حصر وتجديد المجال | إذا كان $f(a) \times f(m) < 0$ فإن $\alpha \in [a; m]$، وإلا فإن $\alpha \in [m; b]$ | تقليص سعة مجال البحث بمقدار النصف واستبعاد النصف الخالي. |
تُعرّف سعة حصر عدد حقيقي $\alpha$ داخل مجال $[x_1; x_2]$ بالفرق الجبري الإيجابي بين طرفيه وهو المقدار: $x_2 - x_1$. وتتوقف خوارزمية ثنائية التفرع تكرارياً عند بلوغ السعة المستهدفة المطلوبة في نص المسألة (والتي تُصاغ عادة على شكل قوى عشرية سالبة $10^{-n}$ حيث تعبر $n$ عن عدد الأرقام المضمونة بعد الفاصلة):
| السعة المستهدفة المقرّرة | النموذج التحليلي لصيغة الحصر | الرتبة الرقمية لعدد الأرقام بعد الفاصلة |
|---|---|---|
| $10^{-1}$ (أو $0.1$) | $1.2 < \alpha < 1.3$ | رقم واحد بدقة العشرات. |
| $10^{-2}$ (أو $0.01$) | $1.24 < \alpha < 1.25$ | رقمان بدقة المئات. |
ليكن $\alpha$ الحل الحقيقي الوحيد للمعادلة $f(x)=0$ على المجال المغلق $[1; 2]$. المطلوب: عين حصراً للعدد $\alpha$ بسعة قيمتها $0.5$.
| الخطوة الحسابية المقررة | القيمة العددية والإشارة الجبرية | القرار التحليلي المنهجي المستنتج |
|---|---|---|
| حساب الصورة الطرفية الأدنى | $f(1) = -3$ (إشارة سالبة) | المنطلق المرجعي للإشارة الجوارية الأولى. |
| حساب الصورة الطرفية الأعلى | $f(2) = 5$ (إشارة موجبة) | تحقق شرط الوجود الأولي لأن $f(1) \times f(2) < 0$؛ إذن $\alpha \in [1; 2]$ (السعة الحالية تساوي $1$). |
| حساب صورة مركز التفرع الأول | المركز: $m_1 = \frac{1+2}{2} = 1.5$ الصورة: $f(1.5) = 0.875$ (إشارة موجبة) |
بما أن $f(1) \times f(1.5) < 0$، فإن الجذر يستقر حتماً في النصف الأيسر؛ إذن: $\alpha \in [1; 1.5]$ (السعة المحققة: $1.5 - 1 = 0.5$ وهو المطلوب). |
يُنصح منهجياً عند التعامل مع حسابات الحصر المتتابعة ذات السعات الضيقة ($10^{-2}$ أو $10^{-3}$) توظيف الخاصية الحسابية النمطية للجدول الدالي (Table) المتوفرة في الآلات الحاسبة العلمية، لتوليد قيم الدوال واختزال رتب الإشارة بسرعة ودقة تمنع الأخطاء الحسابية الجانبية.