دراسة اتجاه التغير وتنظيم جدول التغيرات النظامي للدالة ln
الربط التحليلي بين إشارة العبارة المشتقة والتحولات الإشارية والراتبية للمنحنيات اللوغاريتمية
1. التحليل الراتبي لاتجاه تغير الدالة اللوغاريتمية النيبيرية
تخضع رتابة الدالة اللوغاريتمية النيبيرية $x \mapsto \ln(x)$ للأثر الإشاري لعبارتها المشتقة؛ وحيث إن الدالة تقبل الاشتقاق على حيز صلاحيتها الطوبولوجية $]0; +\infty[$، فإن دالتها المشتقة المعينة بالدستور القياسي التالي:
$f'(x) = \frac{1}{x}$
وبالنظر إلى القيود المفروضة بنيوياً على متغيرات هذا الحقل الاستدلالي والمتمثلة في الشرط الحتمي $x > 0$، يستنتج بالضرورة التحليلية المتطابقة أن العبارة المشتقة $f'(x)$ موجبة تماماً قطيعاً على كامل مجال دراستها.
الدالة اللوغاريتمية النيبيرية $(\ln)$ دالة متزايدة تماماً وبشكل مطرد على كامل المجال المفتوح $]0; +\infty[$.
2. جدول التغيرات النظامي للدالة $\ln$
يلخص جدول التغيرات الهيكلي أدناه مجموع السلوك التحليلي والمآلي للدالة؛ بربط حيز الوجود والعبارة المشتقة والنهايات الجوارية والصور المرجعية ضمن منظومة بيانية موحدة:
| $x$ | $0$ | $1$ | $e$ | $+\infty$ | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $f'(x)$ | $\|$ | $+$ | $+$ | $+$ | |||
| $f(x)$ | $\| \ \ {-\infty}$ | $\nearrow$ | $0$ | $\nearrow$ | $1$ | $\nearrow$ | ${+\infty}$ |
3. الدراسة الإشارية للقيم الحصيلة للدالة $\ln$
يستوجب الفصل المنهجي الدقيق في الامتحانات الرسمية بين 'رتابة الدالة' (كونها متزايدة تماماً على الدوام) وبين 'إشارة القيم العددية الحصيلة' لها؛ حيث تتحدد الوضعية الإشارية لـ $\ln(x)$ مقارنة بالصورة الابتدائية المعدومة للواحد $(\ln(1)=0)$ وفق مقتضيات الجدول النظامي التالي:
| المجال الطوبولوجي للمتغير $x$ | الوضعية الإشارية للعبارة $\ln(x)$ | التفسير الهندسي والموقع البياني للمنحنى $(\mathcal{C}_{\ln})$ |
|---|---|---|
| $x \in ]0; 1[$ | سالبة تماماً قطيعاً: $\ln(x) < 0$ | يقع المنحنى البياني $(\mathcal{C}_{\ln})$ تماماً تحت محور الفواصل. |
| $x = 1$ | منعدمة متطابقة: $\ln(x) = 0$ | يمثل الفاصلة الحرجة لنقطة تقاطع المنحنى البياني مع محور الفواصل. |
| $x \in ]1; +\infty[$ | موجبة تماماً قطيعاً: $\ln(x) > 0$ | يقع المنحنى البياني $(\mathcal{C}_{\ln})$ تماماً فوق محور الفواصل. |
4. الامتداد التحليلي للدوال المركبة من الشكل $\ln(u)$
لأجل ضبط اتجاه تغير دالة مركبة تشمل المكون اللوغاريتمي مصاغة بالعبارة العامة $f(x) = \ln(u(x))$ على مجال معلوم $I$، يستند المسار المنهجي إلى الفحص التفاضلي لإشارة عبارة مشتقتها الناتجة:
$f'(x) = \frac{u'(x)}{u(x)}$
وبالنظر لحتمية خضوع العبارة الداخلية لشروط الوجود والاتصال الطوبولوجي والتي تفرض أن تكون $u(x) > 0$ على الدوام من أجل كل $x \in I$، فإن إشارة الحاصل الكسري للمشتقة $f'(x)$ تتحدد نظامياً وتتطابق كلياً وبشكل حصري مع إشارة البسط $u'(x)$.
بموجب الرتابة المتزايدة تماماً للدالة اللوغاريتمية النيبيرية، فإن للدالة الحاضنة الداخلية $u$ والدالة المركبة الناتجة عنها $\ln(u)$ اتجاه تغير متطابقاً تماماً على كل مجال تكون فيه الدالة $u$ مستمرة وموجبة تماماً؛ أي أنهما يتزايدان معاً ويتناقصان معاً.