1. التأصيل النظري والاستدلال العكسي للقانون

تستند تقنية المكاملة بالتجزئة (Integration by Parts) بنيويّاً إلى الانعكاس التفاضلي لدستور اشتقاق جداء تابعين مستمرين وقابلين للاشتقاق؛ فانطلاقاً من الصيغة التفاضلية القياسية: $(u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v'$، وبإدخال مؤثر المكاملة المحددة على الطرفين، يستقر المنطوق الدستوري للمبرهنة وفق النموذج الآتي:

$ \int_{a}^{b} u(x) v'(x) \, dx = [u(x)v(x)]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} u'(x) v(x) \, dx $

2. الاستراتيجية المنهجية لمعايرة التوابع (المحدد الترتيبي القياسي)

يتوقف نجاح ميكانزم التجزئة إجرائيّاً على دقة الفرز التناظري للحدود الجبرية؛ وذلك بتحديد التابع الأساسي $u(x)$ المستهدف بالاشتقاق، والتابع التفاضلي $v'(x)$ المستهدف بالمكاملة الارتدادية. ويُعتمد نظاميّاً الترتيب القياسي التنازلي للأولوية لتعيين دالة الاشتقاق $u$ وفق الميزان الحرفي المقيد أدناه:

1. L (Logarithmic): الدوال اللوغاريتمية النيبيرية (تتصدر رتبة الأولوية المطلقة لتعيين التابع $u$).

2. P (Polynomial): الدوال الحدودية (كثيرات الحدود)، وتُستهدف كتابع $u$ في حال غياب البنى اللوغاريتمية.

3. E (Exponential): الدوال الأسية، ويُفضل إدراجها نظاميّاً صلب حيز المعامل التفاضلي $v'$ لتسهيل ارتدادها المباشر.

4. T (Trigonometric): الدوال الدائرية الجيبية ($\sin, \cos$).

3. تطبيق تحليلي نموذجي (معايرة الجداء اللوغاريتمي الخطي)

المسألة: حدد المقدار العددي الدقيق للتكامل المحدد الآتي: $I = \int_{1}^{e} x \ln x \, dx$.

الفرز والمقايسة البنيوية: بالاستناد إلى ضوابط الترتيب المنهجي، تؤول أولوية الاشتقاق للحد اللوغاريتمي؛ وعليه نضع: $u(x) = \ln x$، بينما يُقيد المقدار الخطي صلب الحيز التفاضلي: $v'(x) = x$.

المسار التفاضلي الحصيلي: يستلزم التأسيس الفرعي صياغة المخرجات الجوارية الآتية: $u'(x) = \frac{1}{x}$، والتابع الأصلي المقابل: $v(x) = \frac{1}{2}x^2$.

التنفيذ الدستوري المعيّر: بإسقاط المقادير صلب الصياغة المقررة للمبرهنة، نتحصل على ما يلي:

$ I = \left[\frac{1}{2}x^2 \ln x\right]_{1}^{e} - \int_{1}^{e} \frac{1}{2}x^2 \cdot \frac{1}{x} \, dx $

$ I = \left(\frac{1}{2}e^2 \ln e - \frac{1}{2}(1)^2 \ln 1\right) - \int_{1}^{e} \frac{1}{2}x \, dx = \frac{1}{2}e^2 - \left[\frac{1}{4}x^2\right]_{1}^{e} $

$ I = \frac{1}{2}e^2 - \left(\frac{1}{4}e^2 - \frac{1}{4}\right) = \frac{1}{4}e^2 + \frac{1}{4} $

---