تظهر حالة عدم التعيين من الشكل "$\infty - \infty$" عند حساب مآل مجموع دالتين تؤول إحداهما إلى $+\infty$ والأخرى إلى $-\infty$، حيث يتعذر تعيين النتيجة مباشرة دون اللجوء إلى دراسة رتبة المآل التحليلي لكل عبارة.
أما حالة عدم التعيين من الشكل "$\frac{\infty}{\infty}$" فتنجم عن حساب نهاية كسر يؤول فيه كل من البسط والمقام إلى اللانهاية الجوارية (الموجبة أو السالبة).
ترتبط دراسة رتب نمو الدوال وتحديد نهايات التراكيب اللامتناهية بـ مبرهنات التزايد المقارن، والتي يمكن الاعتماد عليها كأدوات تحليلية متقدمة لحسم هذه الحالات.
تعتمد طريقة الإزالة تحليلياً على تحويل العبارة الجبرية من صيغة المجموع إلى صيغة الجداء، وذلك باستخراج الحد ذي الرتبة الأعلى (الحد المهيمن) كعامل مشترك، مما يؤدي إلى مآل بقية المقادير الكسرية المضافة نحو الصفر وفق المبرهنة المرجعية لمقلوب اللانهاية.
| المرحلة المنهجية | الإجراء التقني والتحليلي | الأثر التحليلي على العبارة |
|---|---|---|
| 1. استخراج العامل | تعيين الحد ذي الأس الأكبر واستخراجه خارج القوس كعامل مشترك. | تحويل العبارة من مجموع جبري إلى جداء عاملين. |
| 2. التبسيط والكسر | قسمة الحدود المتبقية داخل القوس على الحد المستخرج. | تشكل نهايات نموذجية مآلها الصفر من الشكل $\frac{k}{\infty} = 0$. |
| 3. الحساب النهائي | تطبيق مبرهنة جداء النهايات على المقادير المتبقية. | استنتاج النتيجة القطعية والنهائية للدالة. |
المطلوب حساب النهاية التالية:
$\lim\limits_{x \to +\infty} (\sqrt{x^2+x} - x)$
| المرحلة التحليلية | العمليات والإجراءات الرياضية | التبسيط والنتيجة |
|---|---|---|
| 1. التعويض المباشر | بالتعويض نجد الحد الأول يؤول إلى $+\infty$ والثاني إلى $-\infty$. | حالة عدم تعيين من الشكل "$\infty - \infty$" تستوجب الإزالة. |
| 2. تطبيق طريقة المرافق | نضرب ونقسم العبارة في مرافقها الأصم: $\frac{(\sqrt{x^2+x} - x)(\sqrt{x^2+x} + x)}{\sqrt{x^2+x} + x}$ | بتطبيق المتطابقة الشهيرة الثالثة نجد: $\frac{x^2+x-x^2}{\sqrt{x^2+x} + x} = \frac{x}{\sqrt{x^2+x} + x}$ |
| 3. استخراج العامل المشترك | نستخرج $x^2$ داخل الجذر كعامل مشترك، وبما أن $x \to +\infty$ فإن $\sqrt{x^2}=|x|=x$. | تؤول العبارة إلى: $\frac{x}{x\left(\sqrt{1+\frac{1}{x}} + 1\right)} = \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{x}} + 1}$، وعند النهاية نجد: $\frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}$. |
عند دراسة عبارة من الشكل $\sqrt{ax^2+bx+c} - \alpha x$ بجوار اللانهاية، نقارن بين القيمة المطلقة للمقدار $\alpha$ وبين الجَذر التربيعي لمعامل الحد الأعلى درجة داخل الجذر $\sqrt{a}$:
1. إذا كان $\sqrt{a} = |\alpha|$، فإن استخدام طريقة استخراج العامل المشترك يؤول حتماً إلى حالة عدم تعيين أخرى من الشكل $0 \times \infty$، ويكون الاعتماد على طريقة المرافق إلزامياً.
2. إذا كان $\sqrt{a} \neq |\alpha|$، فإن استخدام طريقة استخراج العامل المشترك الأعلى درجة يكفي مباشرة لإزالة حالة عدم التعيين دون الحاجة للمرافق.