1. صياغة المسألة التحليلية الشاملة

لتكن $f$ الدالة العددية للمتغير الحقيقي $x$ والمعرفة على مجال الصلاحية الطوبولوجي $]0; +\infty[$ وفق العبارة التحليلية التالية:

$ f(x) = \frac{e^x - 1}{x^2 \ln(x+1)} $

المستهدف الإجرائي: تعيين المآلات الجوارية للدالة $f$ عند الحدود المفتوحة لنطاق التعريف المعطى (أي بجوار الحد الصفرى الموجب $0^+$ وعند الجوار اللانهائي الموجب $+\infty$).

2. الحل التحليلي المفصل وصياغة المبررات

أولاً: دراسة المآل التقاربي بجوار اللانهائي الموجب $+\infty$

يؤدي التعويض المباشر بجوار $+\infty$ إلى ظهور صيغة غير محددة من النمط الكسري $[\frac{\infty}{\infty}]$. لأجل فصل هذا الارتباط، يخضع التركيب الجبري للتفكيك والموازنة الهيكلية لإبراز نسب التزايد المقارن المرجعية وفق الصيغة التالية:

$ f(x) = \frac{e^x}{x^2 \ln(x+1)} - \frac{1}{x^2 \ln(x+1)} = \left( \frac{e^x}{x^2} \right) \times \left( \frac{1}{\ln(x+1)} \right) - \frac{1}{x^2 \ln(x+1)} $

بموجب مبرهنات التباين الحركي المقررة، فإن الرتبة المتصاعدة للدالة الأسية النيبيرية $e^x$ تهيمن مطلقاً عند $+\infty$ على رتبة دالة القوة التربيعية $x^2$ ورتبة النمو اللوغاريتمي المقترن $\ln(x+1)$؛ وعليه يؤول حد النسبة الأولى حتماً إلى اللانهاية، بينما يؤول الحد الثاني إلى الانعدام التام:

$ \lim_{x \to +\infty} \left( \frac{e^x}{x^2} \right) = +\infty \quad \text{و} \quad \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{\ln(x+1)} = 0 $

وبتطبيق نظريات العمليات على النهايات، تستنتج المحصلة الإجمالية القطعية التالية:

$ \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty $

المستند المنهجي: يستند التعليل صراحة إلى مبرهنة التزايد المقارن العامة التي تقر بأن معدل التغير المطرد للمكون الأسي في البسط يتجاوز جداء النظم الخطية واللوغاريتمية صلب النطاق المقامى.

ثانياً: دراسة المآل التقاربي بجوار الحد الصفرى الموجب $0^+$

يؤول التعويض المباشر عند الصفر بقيم كبرى إلى مظهر غير محدد من النمط $[\frac{0}{0}]$. يستوجب البروتوكول المنهجي إعادة هندسة العبارة الجبرية بهدف توليد الصيغ المرجعية المقترنة بالنهايات الشهيرة للعدد المشتق، وفق التوزيع الجدائي التالي:

$ f(x) = \left( \frac{e^x - 1}{x} \right) \times \left( \frac{x}{\ln(x+1)} \right) \times \frac{1}{x^2} $

بموجب المبرهنات المرجعية الحاكمة لنسب الاستمرار والتفاضل بجوار المبدأ، فإن:

$ \lim\limits_{x \to 0^+} \frac{e^x - 1}{x} = 1 \quad \text{و} \quad \lim\limits_{x \to 0^+} \frac{\ln(x+1)}{x} = 1 \implies \lim\limits_{x \to 0^+} \frac{x}{\ln(x+1)} = 1 $

ونظراً لكون المكون الكسري الثالث المعزول يؤول تباعدياً نحو اللانهاية الموجبة ($\lim\limits_{x \to 0^+} \frac{1}{x^2} = +\infty$)، فإن مآل الجداء الإجمالي يتحدد نظامياً كالتالي:

$ \lim\limits_{x \to 0^+} f(x) = 1 \times 1 \times (+\infty) = +\infty $

3. الحصيلة البيداغوجية والبروتوكولات الاستراتيجية للمحور

يلخص الجدول أدناه المنهجية النظامية المعتمدة للتعامل مع الأنماط الصياغية لحالات عدم التعيين صلب الاختبارات الرسمية:

---