لإثبات أن عبارة $A(n)$ تقبل القسمة على عدد طبيعي $m$، يكفي إثبات أن باقي قسمتها الإقليدية على $m$ معدوم، أي:
$A(n) \equiv 0 \pmod{m}$
تعتمد المنهجية على ثلاث خطوات أساسية:
• الاختزال: تعويض كل أساس بباقي قسمته على الترديد $m$.
• التفكيك: استعمال خواص الموافقات لتبسيط القوى أو الحدود الجبرية.
• التجميع: جمع النتائج الجزئية لإثبات تطابق المجموع مع الصفر بترديد $m$.
إثبات أن $4^n - 1$ يقبل القسمة على $3$ من أجل كل عدد طبيعي $n$:
لدينا $4 \equiv 1 \pmod{3}$، ومنه فإن $4^n \equiv 1^n \equiv 1 \pmod{3}$.
بإضافة $-1$ للطرفين، نحصل على:
$4^n - 1 \equiv 1 - 1 \equiv 0 \pmod{3}$
بما أن الباقي هو $0$، فالعبارة تقبل القسمة على $3$.
رغم إمكانية البرهان بالتراجع، تظل الموافقات الأداة الأكثر مباشرة لاختزال العبارات والوصول إلى النتيجة دون الحاجة لفرضيات التراجع.
في العبارات التي تحتوي مجموع قوى، ابحث عن عوامل مشتركة أو حاول إرجاع الحدود إلى أساسات متوافقة لتسهيل الاختزال.