1. المبدأ

لإثبات أن عبارة $A(n)$ تقبل القسمة على عدد طبيعي $m$، يكفي إثبات أن باقي قسمتها الإقليدية على $m$ معدوم، أي:

$A(n) \equiv 0 \pmod{m}$

2. منهجية الحل

تعتمد المنهجية على ثلاث خطوات أساسية:

• الاختزال: تعويض كل أساس بباقي قسمته على الترديد $m$.

• التفكيك: استعمال خواص الموافقات لتبسيط القوى أو الحدود الجبرية.

• التجميع: جمع النتائج الجزئية لإثبات تطابق المجموع مع الصفر بترديد $m$.

مثال تطبيقي:

إثبات أن $4^n - 1$ يقبل القسمة على $3$ من أجل كل عدد طبيعي $n$:

لدينا $4 \equiv 1 \pmod{3}$، ومنه فإن $4^n \equiv 1^n \equiv 1 \pmod{3}$.

بإضافة $-1$ للطرفين، نحصل على:

$4^n - 1 \equiv 1 - 1 \equiv 0 \pmod{3}$

بما أن الباقي هو $0$، فالعبارة تقبل القسمة على $3$.

3. المقارنة مع التراجع

رغم إمكانية البرهان بالتراجع، تظل الموافقات الأداة الأكثر مباشرة لاختزال العبارات والوصول إلى النتيجة دون الحاجة لفرضيات التراجع.