قابلية اشتقاق دالة على اليمين وعلى اليسار
التحليل الموضعي للنهايات أحادية الطرف والاشتقاقية عند النقط الحرجة وزوايا المنحنيات
1. المفهوم التحليلي للاشتقاق أحادي الطرف
تتميز بعض الدوال العددية بسلوك تحليلي متباين بجوار القيمة النقطية $x_0$ عند مقاربتها عبر مقادير حقيقية أكبر أو أصغر منها. يستوجب هذا التباين فحص مآل نسبة التغير من كل جهة بشكل مستقل:
تكون الدالة العددية $f$ قابلة للاشتقاق على اليمين عند $x_0$ إذا وفقط إذا آلت نهاية نسبة التغير إلى مقدار حقيقي منتهٍ $f'_d(x_0)$ عندما يؤول المتغير المساعد $h$ نحو الصفر بقيم موجبة، وتُصاغ العبارة كالآتي:
$$\lim\limits_{h \to 0^+} \frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h} = f'_d(x_0)$$
تكون الدالة العددية $f$ قابلة للاشتقاق على اليسار عند $x_0$ إذا وفقط إذا آلت نهاية نسبة التغير إلى مقدار حقيقي منتهٍ $f'_g(x_0)$ عندما يؤول المتغير المساعد $h$ نحو الصفر بقيم سالبة، وتُصاغ العبارة كالآتي:
$$\lim\limits_{h \to 0^-} \frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h} = f'_g(x_0)$$
2. الشرط النظامي لقابلية الاشتقاق الشاملة عند قيمة
تكون الدالة العددية $f$ قابلة للاشتقاق عند القيمة الحقيقية $x_0$ إذا وفقط إذا كانت قابلة للاشتقاق على اليمين وعلى اليسار معاً عند هذه القيمة، وتطابق العددان المشتقان أحاديا الطرف تماماً، أي:
$$f'_d(x_0) = f'_g(x_0)$$
3. التفسير الهندسي لنقطة الزاوية (Corner Point)
عندما يتحقق شرط قابلية الاشتقاق على اليمين وعلى اليسار بقيمتين عدديتين منتهيتين ولكن متمايزتين ($f'_d(x_0) \neq f'_g(x_0)$)، فإن الدالة تكون غير قابلة للاشتقاق عند القيمة $x_0$ بمفهوم التعريف العام.
يترجم هذا السلوك هندسياً بأن المنحنى البياني $(\mathcal{C}_f)$ يقبل عند النقطة ذات الفاصلة $x_0$ نصفي مماس متميزين؛ معامل توجيه نصف المماس الأيمن هو $f'_d(x_0)$ ومعامل توجيه نصف المماس الأيسر هو $f'_g(x_0)$. تُسمى هذه النقطة البيانية الحصيلة بـ نقطة الزاوية للبيان.
| المركب التحليلي للمآل | الوضعية الهندسية للمماس | التصنيف النظامي للنقطة الحصيلة |
|---|---|---|
| $f'_d(x_0) = f'_g(x_0) = L$ | مماس وحيد ومستمر معامل توجيهه $L$. | نقطة انعطاف أو نقطة عادية مماسية. |
| $f'_d(x_0) \neq f'_g(x_0)$ | وجود نصفي مماس متميزين بمعاملات مختلفة. | نقطة زاوية قطعية (انكسار المنحنى). |
تُعد دالة القيمة المطلقة النموذجية $x \mapsto |x|$ التطبيق المحوري لدراسة نقاط الزاوية؛ فبالفحص بجوار المبدأ $x_0 = 0$، نجد أن النهاية من اليمين تساوي $+1$ ($f'_d(0) = 1$) والنهاية من اليسار تساوي $-1$ ($f'_g(0) = -1$). وبما أن المقدارين متمايزان، يستنتج صراحة أن الدالة مستمرة عند الصفر لكنها غير قابلة للاشتقاق عنده، ويظهر منحناها البياني تفرعاً هندسياً حاداً يشكل نقطة زاوية إحداثياتها $(0; 0)$.