1. المفهوم التحليلي للاشتقاق أحادي الطرف

تتميز بعض الدوال العددية بسلوك تحليلي متباين بجوار القيمة النقطية $x_0$ عند مقاربتها عبر مقادير حقيقية أكبر أو أصغر منها. يستوجب هذا التباين فحص مآل نسبة التغير من كل جهة بشكل مستقل:

تكون الدالة العددية $f$ قابلة للاشتقاق على اليمين عند $x_0$ إذا وفقط إذا آلت نهاية نسبة التغير إلى مقدار حقيقي منتهٍ $f'_d(x_0)$ عندما يؤول المتغير المساعد $h$ نحو الصفر بقيم موجبة، وتُصاغ العبارة كالآتي:

$$\lim\limits_{h \to 0^+} \frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h} = f'_d(x_0)$$

تكون الدالة العددية $f$ قابلة للاشتقاق على اليسار عند $x_0$ إذا وفقط إذا آلت نهاية نسبة التغير إلى مقدار حقيقي منتهٍ $f'_g(x_0)$ عندما يؤول المتغير المساعد $h$ نحو الصفر بقيم سالبة، وتُصاغ العبارة كالآتي:

$$\lim\limits_{h \to 0^-} \frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h} = f'_g(x_0)$$

2. الشرط النظامي لقابلية الاشتقاق الشاملة عند قيمة

3. التفسير الهندسي لنقطة الزاوية (Corner Point)

عندما يتحقق شرط قابلية الاشتقاق على اليمين وعلى اليسار بقيمتين عدديتين منتهيتين ولكن متمايزتين ($f'_d(x_0) \neq f'_g(x_0)$)، فإن الدالة تكون غير قابلة للاشتقاق عند القيمة $x_0$ بمفهوم التعريف العام.

يترجم هذا السلوك هندسياً بأن المنحنى البياني $(\mathcal{C}_f)$ يقبل عند النقطة ذات الفاصلة $x_0$ نصفي مماس متميزين؛ معامل توجيه نصف المماس الأيمن هو $f'_d(x_0)$ ومعامل توجيه نصف المماس الأيسر هو $f'_g(x_0)$. تُسمى هذه النقطة البيانية الحصيلة بـ نقطة الزاوية للبيان.

---