1. المتطابقة البنيوية لبيزو (Bézout's Identity)

تقضي المبرهنة الأساسية لـ متطابقة بيزو بأنه لأجل كل ثنائية من الأعداد الصحيحة النسبيّة غير المعدومة $(a, b)$، وحيث يُقيد المقدار $d$ باعتباره القاسم المشترك الأكبر لهما $\text{PGCD}(a, b) = d$، فإنه يوجد حتماً ثنائية من الأعداد الصحيحة النسبيّة $(u, v)$ تستوفي صراحة التطابق الخطي الآتي:

$au + bv = d$

يُصطلح نظاميّاً على تسمية المتغيرين $u$ و $v$ بـ معاملي بيزو (Bézout coefficients)، ويستند البروتوكول الخوارزمي لاستخراجهما إلى تشغيل متراجحات خوارزمية إقليدس بنظام عكسي متتالٍ.

2. مبرهنة بيزو العكسية وقيد الأولية المتبادلة

تُمثل مبرهنة بيزو العكسية الأداة الاستدلالية القطعية الصياغة صلب الامتحانات الرسمية لإثبات أولية المقادير العددية فيما بينها؛ حيث ينص منطوقها على ما يلي:

يكون العددين الصحيحين النسبيّين $a$ و $b$ أوليين فيما بينهما إذا وفقط إذا وُجدت ثنائية محققة من الأعداد الصحيحة النسبيّة $(u, v)$ تستوفي الشرط الحاصم:

$au + bv = 1$

النموذج الاستدلالي المعاير:

لأجل إثبات أولية المتغيرين المتتاليين $n$ و $n+1$ فيما بينهما طوبولوجيّاً، لكل متغير طبيعي $n \in \mathbb{N}$، يتم بناء تشكيل خطي مباشر كالآتي:

$(n+1)(1) + (n)(-1) = n + 1 - n = 1$

بإثبات وجود الثنائية الصريحة للمعاملات ($u=1, v=-1$)، وتحقق النتيجة الأحدية، يثبت بموجب مبرهنة بيزو العكسية أن: $\text{PGCD}(n, n+1) = 1$ حتماً.

3. شروط وجود واستقرار حلول المعادلات الدايوفانتية الخطية $au + bv = c$

تقبل المعادلة الخطية من الدرجة الأولى ذات المجهولين الصحيحين $(u, v)$ والموسومة بالصيغة الجبرية $au + bv = c$ حلولاً صلب الفضاء المنفصل $\mathbb{Z}^2$ إذا وفقط إذا كان القاسم المشترك الأكبر للمقادير $\text{PGCD}(a, b)$ يقسم قطعيّاً الثابت العددي المستهدف $c$.

$\text{PGCD}(a, b) \mid c$

---