1. وضع تخمين (بصري):
نعتبر الدالة $f$ المعرفة بـ: $f(x) = \frac{\sqrt{x+1}-1}{x}$. لاحظ أنها غير معرفة عند $0$.
تفاعل: استخدم عجلة الفأرة للـ Zoom، أو اسحب لتحريك الرسم.
من خلال صور الشاشة (Zoom) حول النقطة $0$، نلاحظ أن المنحنى يمر من القيمة $0.5$.
السؤال: خمن قيمة $\lim\limits_{x \to 0} f(x)$ من خلال الرسم؟
2. الإثبات الرياضي (العدد المشتق):
نضع $g(x) = \sqrt{x+1}$. نلاحظ أن $g(0) = 1$.
النسبة $\frac{\sqrt{x+1}-1}{x}$ هي في الحقيقة معدل التغير: $\frac{g(x)-g(0)}{x-0}$.
السؤال: ما هو العدد المشتق $g'(0)$ للدالة $g$ عند $0$؟
(تلميح: مشتقة $\sqrt{u}$ هي $\frac{u'}{2\sqrt{u}}$)
لننظر الآن للدالة $\sqrt{x+1}$، ماذا لو حسبنا نسبة تغير هذه الدالة عند الصفر، والتي تساوي $\frac{f(x)-f(0)}{x-0}$. مثلما وجدتها بالضبط فهي تساوي $$\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{0+1}}{x-0}=\frac{\sqrt{x+1}-1}{x}$$، هذه العبارة الأخيرة لنسبة تغير الدالة $\sqrt{x+1}$، والتي تمثل العدد المشتق لها عند الصفر، هي نفسها النهاية التي نبحث عنها، ومنهفالنهاية هي هذا العدد المشتق ، نحسب مشتقة الدالة ونعوض بالصفر.\