$f$ و $g$ دالتان، $a$ عدد حقيقي:
| $\lim\limits_{x \to a} f(x)$ | $l \in \mathbb{R}$ | $l \in \mathbb{R}$ | $l \in \mathbb{R}$ | $+\infty$ | $+\infty$ | $-\infty$ |
| $\lim\limits_{x \to a} g(x)$ | $l' \in \mathbb{R}$ | $+\infty$ | $-\infty$ | $+\infty$ | $-\infty$ | $-\infty$ |
| $\lim\limits_{x \to a} (f(x)+g(x))$ | $l+l'$ | $+\infty$ | $-\infty$ | $+\infty$ | ع.ت. | $-\infty$ |
تنبيه: إذا كانت الشاشة صغيرة إسحب يمين أو يسار لترى الجدول كاملا.
| $\lim\limits_{x \to a} f(x)$ | $l \in \mathbb{R}$ | $l>0$ | $l>0$ | $l<0$ | $l<0$ | $+\infty$ | $+\infty$ | $-\infty$ | $0$ | $0$ |
| $\lim\limits_{x \to a} g(x)$ | $l' \in \mathbb{R^*}$ | $+\infty$ | $-\infty$ | $+\infty$ | $-\infty$ | $+\infty$ | $-\infty$ | $-\infty$ | $+\infty$ | $-\infty$ |
| $\lim\limits_{x \to a} (f(x) \times g(x))$ | $l \times l'$ | $+\infty$ | $-\infty$ | $-\infty$ | $+\infty$ | $+\infty$ | $-\infty$ | $+\infty$ | ع.ت | ع.ت |
تنبيه: إذا كانت الشاشة صغيرة إسحب يمين أو يسار لترى الجدول كاملا.
| $\lim\limits_{x \to a} f(x)$ | $l \in \mathbb{R}$ | $l \in \mathbb{R}$ | $l \in \mathbb{R}$ | $0$ | $+\infty$ | $+\infty$ | $+\infty$ | $+\infty$ | $-\infty$ | $-\infty$ | $-\infty$ | $-\infty$ |
| $\lim\limits_{x \to a} g(x)$ | $l' \in \mathbb{R^*}$ | $+\infty$ | $-\infty$ | $0$ | $l>0$ | $l<0$ | $+\infty$ | $-\infty$ | $l>0$ | $l<0$ | $+\infty$ | $-\infty$ |
| $\lim\limits_{x \to a} (\frac{f(x)}{g(x))})$ | $\frac{l}{l'}$ | $0$ | $0$ | ع.ت | $+\infty$ | $-\infty$ | ع.ت | ع.ت | $-\infty$ | $+\infty$ | ع.ت | ع.ت |
تنبيه: إذا كانت الشاشة صغيرة إسحب يمين أو يسار لترى الجدول كاملا.
في المثال الموالي سنرى الحالات:
$\frac{l}{-\infty}=0^-$; $\frac{l}{0^-}=-\infty$; $\frac{l}{0+}=+\infty$; $\frac{l}{+\infty}=0^+$
1. تعيين $D_f$ مجموعة تعريف الدالة $f(x)$:
من بين الخيارت التالية التي تحدد مجموعة التعريف $D_f$ حدد كل الإجابات الصحيحة:
فيما يلي ستقوم بحساب نهايات هذه الدالة عند أطراف مجال تعريفها:
2.أحسب $\lim\limits_{x \to -\infty} \frac{1}{x}$
3.أحسب $\lim\limits_{x \stackrel{\scriptscriptstyle <}{\to} 0} \frac{1}{x}$
من بين الخيارت التالية، حدد الإجابة الصحيحة:
4.أحسب $\lim\limits_{x \stackrel{\scriptscriptstyle >}{\to} 0} \frac{1}{x}$
من بين الخيارت التالية، حدد الإجابة الصحيحة:
5.أحسب $\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{1}{x}$
1. تعيين $D_f$ مجموعة تعريف الدالة $f(x)$:
من بين الخيارت التالية التي تحدد مجموعة التعريف $D_f$ حدد كل الإجابات الصحيحة:
فيما يلي ستقوم بحساب نهايات هذه الدالة عند أطراف مجال تعريفها:
الدالة $f(x)$ معرفة على$[0; +\infty[$ سنحسب نهايات هذه الدالة أيضا، عند $0$ و $+\infty$:
2. أحسب $\lim\limits_{x \to 0^+} \sqrt{x}$
بما أن الدالة معرفة عند $0$، فإنه يمكننا التعويض مباشرة:
3. أحسب $\lim\limits_{x \to +\infty} \sqrt{x}$
الدرجة:
من بين الخيارات التالية، حدد الإجابة الصحيحة:
1. تعيين $D_f$ مجموعة تعريف الدالة $f(x)$:
2. أحسب $\lim\limits_{x \stackrel{>}{\to} 0} \frac{1}{\sqrt{x}}$
3. أحسب $\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{1}{\sqrt{x}}$
في هذا المثال سنرى تأثير الأس على النهاية، كونه فرديا أم زوجيا.
وسنجيب على السؤال:هل تقبل هذه الدالة نهاية ثابتة عندما يؤول $x$ إلى $+\infty$ أو $-\infty$؟
1. أحسب $\lim\limits_{x \to -\infty} x^n$ عندما يكون **$n$ عدداً زوجياً** (مثل $x^2$):
2. أحسب $\lim\limits_{x \to -\infty} x^n$ عندما يكون **$n$ عدداً فردياً** (مثل $x^3$):
3. أحسب $\lim\limits_{x \to -\infty} x^n$ عندما $n \in \mathbb{N}^*$
1. أحسب $\lim\limits_{x \to -\infty} \sin(x)$:
2. أحسب $\lim\limits_{x \to +\infty} \sin(x)$:
1. أحسب $\lim\limits_{x \to -\infty} \cos(x)$:
2. أحسب $\lim\limits_{x \to +\infty} \cos(x)$:
قاعدة الحصر (Squeeze Theorem): لحساب نهاية هذه الدوال عند $+\infty$، نستخدم الحصر:
بما أن:
$-1 \le \sin(x) \le 1$،
و بما أن $x>0$لأنه في جوار $+\infty $. نقسم كل الأطراف على $x$ فنجد أن :
$\frac{-1}{x} \le \frac{\sin(x)}{x} \le \frac{1}{x}$ (من أجل $x > 0$).
نعلم مما سبق، أن :
$\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{-1}{x} = \lim\limits_{x \to +\infty} \frac{1}{x} = 0$
إذا كانت نهاية هذه الدالة عند $+\infty$ أكبر من أو تساوي الصفر، وأصغر من أو تساوي الصفر، فهي بكل تأكيد تساوي الصفر.
1. أحسب $\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{\sin(x)}{x}$:
2. أحسب $\lim\limits_{x \to -\infty} \frac{\cos(x)}{x}$:
في المثال الموالي سنرى حالة عدم تعيين $(\frac{0}{0})$ و $(\frac{\infty}{\infty})$
يتم التخلص من عدم التعيين، في جوار اللانهاية، بحساب نهاية الحد الأعلى درجة في البسط على الحد الأعلى درجة في المقام. أما في جوار عدد ثابت فيتم باستعمال الجداءات الشهيرة، التحليل، أو إخراج العامل المشترك.
الدالة معرفة من أجل كل عدد حقيقي لا يعدم المقام $D_f=\mathbb{R}^*$. عند أطراف مجال التعريف تؤول الدالة إلى:
1.$x \to -\infty$; عند التعويض نجد:
$\frac{2(-\infty)^3 -\infty)}{(-\infty)^3}$ =$\frac{-\infty-\infty}{-\infty}$ =$\frac{-\infty}{-\infty}$
وهي حالة عدم تعيين معروفة نتجاوزها بحساب نهاية الحد الأعلى درجة على الحد الأعلى درجة و نكتب
$\lim\limits_{x \to -\infty} f(x)$ =$\lim\limits_{x \to -\infty} \frac{x^3+x}{x^3}$ =$\lim\limits_{x \to -\infty} \frac{x^3}{x^3}$ =1
في مجال التعريف حيث المقام غير معدوم
2. $x \stackrel{\scriptscriptstyle <}{\to} 0$ لدينا:
$\lim\limits_{x \stackrel{\scriptscriptstyle <}{\to} 0} f(x)$ =$\lim\limits_{x \stackrel{\scriptscriptstyle <}{\to} 0} \frac{x^3+x}{x^3}$ =$\lim\limits_{x \stackrel{\scriptscriptstyle <}{\to} 0} (\frac{x^3}{x^3}+\frac{x}{x^3})$ =$\lim\limits_{x \stackrel{\scriptscriptstyle <}{\to} 0} \frac{x^3}{x^3}$ +$\lim\limits_{x \stackrel{\scriptscriptstyle <}{\to} 0} \frac{x}{x^3}$ = $1+\lim\limits_{x \stackrel{\scriptscriptstyle <}{\to} 0} \frac{1}{x^2}$ =$1+(+\infty)$ =$+\infty$
3. $x \stackrel{\scriptscriptstyle >}{\to} 0$ لدينا:
$\lim\limits_{x \stackrel{\scriptscriptstyle >}{\to} 0} f(x)$ =$\lim\limits_{x \stackrel{\scriptscriptstyle >}{\to} 0} \frac{x^3+x}{x^3}$ =$\lim\limits_{x \stackrel{\scriptscriptstyle >}{\to} 0} (\frac{x^3}{x^3}+\frac{x}{x^3})$ =$\lim\limits_{x \stackrel{\scriptscriptstyle >}{\to} 0} \frac{x^3}{x^3}$ +$\lim\limits_{x \stackrel{\scriptscriptstyle >}{\to} 0} \frac{x}{x^3}$ = $1+\lim\limits_{x \stackrel{\scriptscriptstyle >}{\to} 0} \frac{1}{x^2}$ =$1+(+\infty)$ =$+\infty$
4.$x \to +\infty$; عند التعويض نجد:
$\frac{2(+\infty)^3 +\infty)}{(+\infty)^3}$ =$\frac{+\infty+\infty}{+\infty}$ =$\frac{+\infty}{+\infty}$
وهي حالة عدم تعيين معروفة نتجاوزها بحساب نهاية الحد الأعلى درجة على الحد الأعلى درجة و نكتب
$\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)$ =$\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{x^3+x}{x^3}$ =$\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{x^3}{x^3}$ =1
في مجال التعريف حيث المقام غير معدوم
نقول إن نهاية الدالة $f(x)$ هي $L$ عندما يؤول $x$ إلى $a$ إذا كان:
"كلما قربنا قيمة $x$ من العدد $a$ (دون أن تساويها بالضرورة)، اقتربت قيمة $f(x)$ من العدد $L$ بقدر ما نشاء."
بمعنى آخر، يمكننا جعل الفرق بين $f(x)$ و $L$ صغيرا جداً (أصغر من أي عدد نختاره)، بشرط أن نختار $x$ قريباً كفاية من $a$.
يُعرف هذا التعريف رياضياً بتعريف كوشي باستخدام $\epsilon$ و $\delta$:
نقول إن $\lim\limits_{x \to a} f(x) = L$ إذا وفقط إذا كان:"من أجل كل عدد حقيقي موجب $\epsilon$ (مهما كان صغيراً)، يوجد عدد حقيقي موجب $\delta$ بحيث إذا كان الفرق بين $x$ و $a$ أقل من $\delta$، فإن الفرق بين $f(x)$ و $L$ يكون حتماً أقل من $\epsilon$." و هو ما يعبر عنه رياضيا بالعبارة التالية:
$$\forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0 : 0 < |x - a| < \delta \implies |f(x) - L| < \epsilon.$$
1.نميز أربع حالات لعدم التعيين
$\frac{0}{0}$, $\frac{\infty}{\infty}$, $0 \times \infty$, $(+\infty) + (-\infty)$
2.كما نميز أربع حالات أخرى يمكن حساب النهاية فيها
$\frac{0}{\infty}=0$؛ $\frac{L}{\infty}=0$؛ $\frac{\infty}{0}=\infty$؛ $\frac{L}{0}=\infty$
| العملية | النتيجة | ملاحظات |
|---|---|---|
| $L + (\pm\infty)$ | $\pm\infty$ | اللانهاية تغلب الثابت |
| $L \times (\pm\infty)$ | $\pm\infty$ | بشرط $L \neq 0$ (طبق إشارة الجداء) |
| $\frac{L}{\pm\infty}$ | $0$ | أي عدد على لانهاية يساوي صفر |
| $\frac{L}{0}$ | $\pm\infty$ | بشرط $L \neq 0$ (حسب إشارة الصفر) |
تذكر: الحالات غير المذكورة هنا غالباً ما تكون حالات عدم تعيين (ع.ت).